Почему православные священники носят бороду, а католические нет?

Это традиция, а не строгое правило

Прямых запретов на бритье бороды в Евангелии не содержится, однако они имеются в Ветхом Завете, например: «Не стригите головы вашей кругом, и не порти края бороды твоей» (Лев. 19:27). Иисуса Христа мы видим на иконах только с усами и бородой. В подражание Спасителю сохраняли растительность на лице и раннехристианские монахи.

Ныне в православной традиции обладание бородой — не закон, но общепринятое правило, поскольку считается, что священнослужитель — носитель образа Христа. Католическая же традиция в этом вопросе унаследовала взгляды древних римлян, считавших бороду атрибутом варваров. Между тем на протяжении истории и у православных, и у католиков встречались священнослужители как бородатые, так и безбородые. Например, папа римский Юлий II некоторое время носил бороду.