Математики празднуют «пи»

14 марта этого года вот уже в двадцатый раз будет отмечаться День пи — неформальный праздник математиков, посвященный этому странному и загадочному числу. «Отцом» праздника стал Ларри Шоу (Larry Shaw), обративший внимание на то, что этот день (3.14 в американской системе записи дат) приходится кроме всего прочего на день рождения Эйнштейна . И, наверное, это самый подходящий момент для того, чтобы напомнить тем, кто далек от математики, о замечательных и странных свойствах этой математической константы.

1. Интерес к значению числа π, выражающему отношение длины окружности к диаметру, появился еще в незапамятные времена. Известная формула длины окружности L = 2 π R одновременно является определением числа π. В глубокой древности считалось, что π = 3. Например, об этом упоминается в Библии. В эллинистическую эпоху считалось, что

,

и этим значением пользовались и Леонардо да Винчи, и Галилео Галилей . Однако оба приближения очень грубы. Геометрический рисунок, изображающий окружность, описанную около правильного шестиугольника и вписанную в квадрат, сразу дает простейшие оценки для π: 3 < π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια (окружность, периферия).

2. Первый шаг в изучении свойств числа π сделал Архимед (Άρχιμήδης, Archimedes, 287–212 до н. э.). В сочинении «Измерение круга» он вывел знаменитое неравенство

Это означает, что π лежит в интервале длиной 1/497. В десятичной системе счисления получаются три правильных значащих цифры: π = 3,14…. Зная периметр правильного шестиугольника и последовательно удваивая число его сторон, Архимед вычислил периметр правильного 96-угольника, откуда и следует неравенство. 96-угольник визуально мало отличается от окружности и является хорошим приближением к ней.

В том же сочинении, последовательно удваивая число сторон квадрата, Архимед нашел формулу площади круга S = π R ² . Позднее он дополнил ее также формулами площади сферы S = 4 π R ² и объема шара V = ⁴ /3 π R ³ .

3. Дальнейшая история числа π связана в первую очередь с его вычислением. Уточнялись нижняя и верхняя оценки числа и предпринимались неудачные попытки представить π в виде дроби и, таким образом, окончательно найти его значение.

Китаец Цзу Чунчжи (Zu Chongzhi, 430–501) нашел восемь правильных знаков: π = 3,1415926… и предложил приближение π ≈ 355/113. Голландец Людольф ван Цейлен (Ludolph van Ceulen, 1540–1610) вычислил 35 знаков π. И, наконец, в 1706 году англичанин Джон Мечин (John Machin, 1680–1751) впервые смог найти сто знаков π. Сегодня находят миллионы знаков π с помощью суперкомпьютеров. Чуть ли не каждый год устанавливаются новые рекорды знаков π, но, в отличие от ста знаков Мечина, вопрос о достоверности таких вычислений всегда остается открытым.

4. Формула длины окружности и три формулы Архимеда (для площади круга, площади сферы и объема шара) не являются конструктивными — они не содержат способа вычисления входящего в эти формулы числа π. Если применить известные в интегральном исчислении методы нахождения длины кривой, площади поверхности и объема тела к формулам для окружности, круга, сферы и шара, то можно доказать, что в каждой из этих формул π задается интегралом

Существующие методы вычисления интегралов позволяют таким образом находить π. (Заметим в скобках, что полученная для π интегральная формула служит исходным пунктом для вывода так называемого распределения вероятностей Коши–Лоренца (Cauchy-Lorentz distribution), хорошо известного в теории вероятностей и имеющего важные приложения в теоретической физике.)

5. Преобразуя то же самое интегральное выражение, несложно получить представление π в виде либо бесконечной суммы (ряда)

либо бесконечного произведения

Первую формулу нашли независимо шотландец Джеймс Грегори (James Gregory, 1638–1675) и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716). Вторую формулу получил знаменитый криптограф Кромвеля (Oliver Cromwell, 1599–1658) англичанин Джон Валлис (John Wallis, 1616–1703). К сожалению, пользы от этих формул было немного: чтобы вычислить десять знаков π, необходимо сложить или умножить миллиарды слагаемых или перемножить миллиарды сомножителей, в чем легко убедиться, попытавшись вычислить π таким образом. Такая работа трудна даже для современного мощного компьютера.

6. Однако процесс вычисления можно ускорить, и тогда использование этих формул приобретает совсем другой смысл. Например, Мечин существенно ускорил вычисления по формуле Грегори–Лейбница, приведя формулу

к виду

и разложив арктангенс по формуле:

В этом случае десять знаков π находятся быстро. Именно эта формула помогла Мечину найти 100 знаков π. Сегодня открыто много аналогов формулы Мечина, по которым π вычисляется еще быстрее. Приведем только два примера:

Чем меньше аргументы арктангенсов, тем быстрее вычисляется π. Чем меньше максимальный аргумент арктангенсов в аналоге формулы Мечина, тем выше скорость сходимости этого аналога.

7. Современник Исаака Ньютона (Sir Isaac Newton, 1643–1727) японский математик Секи Такакадзу (Takakazu Shinsuke Seki, 1642–1708) придумал метод ускорения медленно сходящихся последовательностей. Например, известные последовательности правильных многоугольников сходятся к окружности медленно, из-за этого медленно сходятся к числу π последовательности его приближений, рассчитанные с помощью этих многоугольников. Такакадзу ускорил сходимость последовательностей приближений и нашел десять знаков числа π. Прошло более двух столетий, когда английский математик Александр Крэг Эйткен (Alexander Craig Aitken, 1895–1967) переоткрыл метод ускорения сходимости последовательностей, известный сегодня как метод Эйткена. Метод Такакадзу-Эйткена творит чудеса. Если в формуле Грегори–Лейбница сложить семь слагаемых, то мы найдем только один правильный знак: π = 3,…. Если же к этим семи слагаемым применить метод ускорения, то получим шесть правильных знаков: π = 3,14159….

Попутно Такакадзу независимо от Ньютона открыл метод касательных для решения уравнений, первым в мире изучал определители второго и третьего порядка, а также открыл числа Бернулли раньше самого Якоба Бернулли (Jacob Bernoulli, 1654–1705), именем которого они названы.

8. Два голландских ученых Виллеброрд Снеллиус (Willebrord van Royen Snell, 1580–1626) и Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens, 1629–1695) предложили методы ускорения вычислений для выведенного Архимедом алгоритма нахождения числа π путем аппроксимации окружности правильными многоугольниками.

Снеллиус показал, что там, где правильный шестиугольник дает один знак числа π – тройку, на самом деле можно получить три знака: π = 3,14… . Взяв 96-угольник, Снеллиус нашел семь знаков π вместо трех знаков, соответствующих неравенству Архимеда. Для любого данного многоугольника Снеллиус увеличивал количество правильных знаков числа π более чем вдвое по отношению к количеству правильных знаков, полученных методом Архимеда. К сожалению, Снеллиусу не удалось доказать две теоремы, лежащие в основе его метода. Позднее Гюйгенс в своей работе «О найденной величине круга», написанной им в возрасте 25 лет, не только доказал теоремы Снеллиуса и развил его метод, но также смог создать новый, более мощный метод, в котором применяются некоторые свойства центра масс. Для данного многоугольника Гюйгенс увеличивал число правильных знаков π более чем втрое по отношению к знакам Архимеда. Для получения неравенства Архимеда он использовал всего лишь правильный треугольник! Взяв шестидесятиугольник, Гюйгенс нашел для π десять знаков: 3,141592653… .

Посвященные кругу работы Архимеда и Гюйгенса написаны на геометрическом языке. Сегодня было бы полезно интерпретировать эти работы в рамках дифференциального и интегрального исчисления.

9. Важным достижением в изучении числа π было выяснение его теоретико-числовой природы. В 1766 году немецкий математик, физик и астроном Иоганн Генрих Ламберт (Johann Heinrich Lambert, 1728–1777) доказал иррациональность числа π. Это означает, что π нельзя представить в виде дроби. Но можно найти бесконечную последовательность дробей приближающих π, в определенном смысле, наилучшим образом. Такие дроби называются подходящими и строятся в рамках теории цепных или, что то же самое, непрерывных дробей. Ламберт нашел для π первые двадцать семь подходящих дробей. Выпишем здесь только первые семь из них:

.

Первая, вторая и четвертая дроби нами уже рассматривались (и это не случайно).

Наконец, в 1882 году немецкий математик Карл Луис Фердинанд Линдеман (Ferdinand von Lindemann, 1852–1939) доказал, что π – трансцендентное число. Это означает, что π не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами — то есть не является алгебраическим числом.

В год доказательства иррациональности π немецкий астроном Иоганн Даниель Тициус (Johann Daniel Titius, 1729–1796) опубликовал закон планетных расстояний, в котором неожиданно появляется последовательность Архимеда, сыгравшая важную роль в доказательстве знаменитого неравенства для π. Приняв расстояние Сатурна от Солнца за 100 единиц, Тициус представил расстояния планет от Солнца следующим образом:

Знаком вопроса отмечено место, где, как предполагал Тициус, предстоит что-то открыть. В XIX веке в этом месте открыли кольцо астероидов. Интересно, что Ламберт в 1761 году поставил следующий вопрос: «Кто знает, нет ли недостающих планет в обширном пространстве между Марсом и Юпитером, которые будут когда-нибудь обнаружены?». Мы видим, что последовательность Тициуса для планетных расстояний получается в результате суммирования последовательности Архимеда с постоянной последовательностью четверок. Позднее этот закон стали называть законом Тициуса–Боде, несмотря на то, что открыл его только один человек — Тициус.

10. В заключение укажем на связь числа π с многомерными сферами и шарами. Сферой в n -мерном евклидовом пространстве называется множество точек этого пространства, удаленных от данной точки на расстояние R . Шаром в n -мерном евклидовом пространстве называется множество точек этого пространства, удаленных от данной точки на расстояние, не превышающее R . Объем n- мерной сферы и объем n- мерного шара пропорциональны R ⁿ . Объем одномерной сферы – это длина окружности, а объем двумерной сферы – это площадь обычной сферы. Объем одномерного шара – это длина отрезка, объем двумерного шара – это площадь круга, а объем трехмерного шара – это объем обычного шара. В формулы объемов многомерных сфер и шаров, которые можно найти в математических справочниках, входит число π.

Известные формулы для окружности, круга, сферы и шара не содержат способа вычисления входящего в эти формулы числа π. Поэтому при работе с этими формулами необходимо каким-то образом дополнительно задать π. Но вот что интересно. Если мы рассмотрим все множество формул для многомерных сфер и шаров, позволяющих находить их объемы, то при работе с этими формулами нет необходимости задавать π дополнительно. Дело в том, что, при естественном условии монотонности последовательности отношений объемов n –мерных шаров и n –мерных сфер для всех натуральных значений n , сами формулы однозначно определяют числовое значение π.

В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.