Яков Перельман — мастер головоломок, фокусов и задач по математике, физике и астрономии. Подобрали 9 сложных задачек для неленивого мозга. Приготовьтесь считать в уме!
- Источник:
Legion Media
Два паровоза
Вам случалось наверное видеть, как поезд везут два паровоза — один впереди состава, другой сзади. Но думали ли вы о том, что при этом происходит со сцепкой вагонов и с буферами? Передний паровоз увлекает за собою вагоны лишь тогда, когда их сцепка натянута; но при этом буфера не соприкасаются, и задний паровоз не может толкать вагоны. Наоборот, когда задний паровоз толкает состав, буфера напирают друг на друга, сцепка же не натянута, а потому работа переднего паровоза бесполезна.
Выходит, что оба паровоза не могут одновременно двигать поезд: с пользой работает либо один, либо другой паровоз. Для чего же прицепляют два паровоза?
Скорость поезда
Вы сидите в вагоне железной дороги и желаете узнать, с какою скоростью он мчится. Можете ли вы определить это по стуку колес?
Два поезда
Два поезда вышли одновременно с двух станций навстречу друг другу. Первый достиг станции назначения спустя час после их встречи, второй — спустя 2 часа 15 мин. после встречи. Во сколько раз скорость одного поезда больше скорости другого? Задача допускает устное решение.
Из вагона
Желая покинуть поезд на ходу, пассажир выбросил из вагона сначала свой чемодан вперед по направлению движения поезда, а потом выпрыгнул и сам — также по направлению движения.
Правильно ли он выбрал направление для бросания и для прыжка?
Велосипедист
Велосипедист желает попасть на место назначения ровно к пяти часам. Он рассчитал, что если будет ехать со скоростью 15 км в час, то прибудет часом раньше. При скорости же 10 км в час он прибудет с опозданием в один час.
С какою скоростью должен он ехать, чтобы прибыть как раз во-время ?
Как поезд трогается с места?
Вы заметили, вероятно, что перед тем, как двинуть поезд вперед, машинист нередко подает весь состав назад.
Для чего это делается?
От Казани до Астрахани
Расстояние от Казани до Астрахани пароход проходит в 4 суток и 8 часов, обратный же путь — в 6 суток и 12 часов. Во сколько времени проходят по Волге то же расстояние плоты?
Переправа
Троим пешим разведчикам необходимо было перебраться на противоположный берег реки при отсутствии моста. Правда, на реке катались в челноке два мальчика, готовые помочь красноармейцам. Но челнок так мал, что мог выдержать вес только одного взрослого: даже взрослый и один мальчик не могли одновременно сесть в лодку без риска ее потопить. Плавать разведчики не умели.
Казалось бы, при таких условиях мог переправиться черезреку только один красноармеец. Между тем все три разведчика благополучно очутились на противоположном берегу и возвратили лодку мальчикам.
Как они это сделали?
Состязание
Две парусные лодки участвуют в состязании; требуется пройти 24 км туда и обратно в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 км в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 км в час, а обратно — со скоростью 24 км в час.
Победила на состязании первая лодка, — хотя, казалось бы, вторая должна была в одном направлении отстать от первой ровно на столько же, на сколько она опережала ее на обратном пути и, следовательно, притти одновременно с первой. Почему же она опоздала?
От Энска до Иксограда
Плывя по течению, пароход делает 20 км в час; плывя против течения, — всего 15 км в час. Чтобы пройти от пристани города Энска до пристани Иксограда, он употребляет на 5 часов меньше, чем на обратный путь.
Как велико расстояние между этими городами?
Ответы
Два паровоза
Головоломный вопрос разрешается очень просто. Передний паровоз тянет не весь состав, а только часть его, примерно половину вагонов. Остальные вагоны подталкиваются задним паровозом. У первой части состава сцепка вагонов натянута, у остальной она свободна, и вагоны упираются буфер в буфер.
Скорость поезда
Вы заметили, конечно, что при езде в вагоне ощущаются все время мерные толчки; никакие рессоры не могут сделать их неощутительными. Толчки эти происходят оттого, что колеса слегка сотрясаются в местах соединения двух рельсов и толчок передается всему вагону.
Эти-то неприятные толчки, довольно разрушительно действующие на вагоны и на рельсы, можно использовать для определения скорости поезда. Стоит лишь сосчитать, сколько толчков в минуту испытывает вагон, чтобы узнать, сколько рельсов пробежал поезд. Остается умножить это число на длину каждого рельса, — и вы получите расстояние, проходимое поездом в одну минуту.
Обычная длина рельса — около 15 м. Сосчитав с часами в руках число толчков в минуту, умножьте это число на 15, затем на 60 и делите на 1000 — получится число километров, пробегаемое поездом в чае:
Два поезда
Более быстрый поезд прошел до точки встречи путь во столько раз длиннее пути медленного поезда, во сколько раз скорость быстрого поезда превышает скорость медленного. После встречи быстрому поезду оставалось пройти до станции путь, пройденный до встречи медленным поездом, и наоборот. Другими словами, быстрый поезд после встречи прошел путь, во столько раз короче, во сколько раз больше его скорость. Если обозначить отношение скоростей через м, то на прохождение части пути от места встречи до станции быстрый поезд употребил в x2 меньше времени, чем медленный. Отсюда x2 = 2 1/4 и х = 1 1/2. т. е. скорость одного поезда в полтора раза больше скорости другого.
Из вагона
Человек должен прыгать из вагона вперед по направлению движения только для того, чтобы быть обращенным лицом вперед: тогда он может предупредить свое падение быстрым бегом, а в крайнем случае — выставить вперед руки. Но бросать чемодан вперед по движению не имеет никакого смысла. Чтобы ослабить удар чемодана о землю, надо бросать его против движения, назад: этим уменьшается скорость, присущая чемодану по инерции. Правильнее было бы и пассажиру прыгать назад, обратившись лицом вперед, как делают опытные люди, — но этот прием требует тренировки.
Велосипедист
При скорости 10 км в час велосипедист прибывает на место двумя часами позже, чем при скорости 15 км в час. Так как при быстрой езде он делает 1 км в 1/15 часа, а при более медленной — в 1/10 часа, то на каждом километре он при быстрой езде выгадывает 1/10 — 1/15 = 1/30 часа, или 2 минуты. Разница в 2 часа, т. е. 120 минут, должна была составиться на расстоянии 120: 2 = 60 км. При быстрой езде велосипедист делает такой путь в 60:15, т. е. в 4 часа, и приезжает, мы знаем, часом раньше срока. Чтобы прибыть ровно в срок, т. е. проехать то же расстояние в 5 часов, ему следовало бы ехать со скоростью 60:5, т. е. 12 км в час (а не (10 + 15)/2, т. е. не 12 1/2 км, как обычно отвечают).
Как поезд трогается с места?
Когда поезд, прибыв на станцию, останавливается, сцепка вагонов натянута. Если паровоз станет тянуть состав в таком виде, ему придется сдвигать с места весь состав сразу; при тяжелом составе это ему не под силу. Другое дело, когда паровоз предварительно подал состав назад; сцепка тогда не натянута, и приводятся в движение вагон за вагоном последовательно, — это гораздо легче.
Короче говоря, машинист делает то же самое, что и возница тяжело нагруженного воза: он вскакивает на него только на ходу, когда движение уже началось; иначе лошади пришлось бы брать сразу с места чересчур значительный груз.
От Казани до Астрахани
Задача сводится к определению средней скорости течения Волги между Казанью и Астраханью. Вычисляем ее следующим образом. Расстояние между городами пароход проходит по течению в 104 часа, против течения — в 156 часов. Следовательно, плывя по течению, он в час делает 1/104 всего расстояния, а против течения — 1/156. Разность между ними 1/104 — 1/156 = 1/312 всего расстояния есть двойная скорость течения. Итак, течение проходит в час 1/624 всего расстояния; поэтому от Казани до Астрахани плоты должны идти 624 часа, т. е. 26 суток.
Переправа
Пришлось сделать шесть следующих поездок:
1-я поездка. Оба мальчика подъезжают к противоположному берегу, и один из них приводит лодку к разведчикам (другой остается на том берегу).
2-я поездка. Мальчик, привезший лодку, остается на этом берегу; в челнок садится первый разведчик, который и переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с другим мальчиком.
3-я поездка. Оба мальчика переправляются через реку, и один из них возвращается с челноком.
4-я поездка. Второй разведчик переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с мальчиком.
5-я поездка. Повторение 3-й.
6-я поездка. Третий разведчик переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с мальчиком, и дети продолжают свое прерванное катание по реке.
Теперь все три разведчика находятся на другом берегу.
Состязание
Вторая лодка опоздала потому, что двигалась с 24-километровой скоростью меньшее время, чем с 16-километровой. Действительно, с 24-километровой скоростью она двигалась 21/24 т. е. 1 час, а с 16-километровой — 24/16 = 1 1/2 часа. Поэтому она на пути туда потеряла времени больше, чем выгадала на обратном пути.
От Энска до Иксограда
Плывя по течению, пароход делает 1 км в 3 минуты; плывя против течения — 1 км в 4 минуты. На каждом километре пароход в первом случае выгадывает 1 минуту, а так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 часов, или 300 минут, то, следовательно, от Энска до Иксограда 300 км.
