Математика — начнем с азов: что такое умножение и какие у него есть свойства

Теория чисел — довольно специфический раздел математики. Вначале он смущает школьников и студентов тем, что нужно забыть про существование всех чисел, кроме целых. В теории чисел нет числа полтора. Там на вопрос: «Можно ли три яблока разделить поровну на двоих?» ответом будет: «Нельзя, потому что три не делится на два». В этом смысле единицу лучше воспринимать не как яблоко, а как камень — что-то атомарное, что дальше уже не делится.

Так что, да, забудьте на время про все числа, кроме целых. Более того, мы даже за рамки натуральных чисел редко будем выходить.

Напомню, что натуральными называются¹ числа, которые образуются при счёте:
1, 2, 3, 4, 5, . . .

А целыми называются все натуральные числа, число 0 и все числа, противоположные натуральным:
−1, −2, −3, −4, −5, …

Прежде чем переходить к самому важному понятию теории чисел — делимости, давайте начнем с азов и вспомним, что такое умножение и какие у него есть свойства.

Как работает умножение

Из начальной школы мы знаем, как складывают числа, и понимаем, что если нам нужно сложить несколько одинаковых чисел, то компактнее это записывается через умножение:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 5.

То есть 3 · 5 — это буквально три, взятое пять раз.

Но не все задумываются о том, почему это правило работает. Почему 3 · 5 и 5 · 3 — это одно и тоже?

Почему 3 + 3 + 3 + 3 + 3 равно 5 + 5 + 5? Понятно, что можно вычислить каждую из сумм, и оба раза получить 15. Но как заранее понять, что получается одно и то же, не выполняя сложение?

Давайте рассуждать. Что такое 3 · 5? Это три, взятое пять раз. Изобразим это в виде пяти наборов из трёх шаров (картинка внизу слева):

Но количество получившихся шаров можно было посчитать и по-другому — сгруппировав их по пять (картинка вверху справа).

А это и означает, что пять, взятое три раза, — это то же самое, что три, взятое пять раз.

Представим себе несколько шаров, сложенных в виде прямоугольного параллелепипеда размером 3 × 5 × 4:

Сколько здесь шаров? С одной стороны, здесь четыре слоя, в каждом из которых 3 · 5 шаров. То есть здесь всего (3 · 5) · 4 шаров (картинка внизу слева).

Но, с другой стороны, все шары можно разбить на горизонтальные ряды (картинка вверху справа).

А рядов таких всего 5 · 4 штук. Поэтому общее число шаров — это 5 · 4 раз по три шара, то есть 3 · (5 · 4).

В итоге мы двумя способами посчитали одно и то же общее количество шаров. Значит,
(3 · 5) · 4 = 3 · (5 · 4).

Давайте опять с помощью шаров поймем, почему, например, 3 · 7 = 3 · 5 + 3 · 2:

Вместо того чтобы сразу взять семь раз по три шара, можно взять пять раз по три, а потом ещё два раза по три. Вот и всё!

Этих трёх свойств достаточно, чтобы уметь делать все те преобразования выражений, которые вы учились делать в начальной школе.

Десятичная система счисления

Тот способ записи чисел, к которому мы все привыкли с детства, называется десятичной системой счисления. В ней для записи числа используется десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые называются арабскими цифрами.

Именно поэтому во многих языках сохранилось и используется до сих пор специальное слово «дюжина» — аналогичное слову «десяток» из десятеричной системы.

Даже ещё в двадцатом веке в Англии применялась двенадцатеричная денежная система: один шиллинг был равен дюжине пенни. Более того, двенадцатеричная система до сих пор используется в английской системе мер. Так, например, один фут равен дюжине дюймов.

Не говоря уже о том, что циферблат часов разделён на 12 часов, а год — на 12 месяцев.

Свои отголоски в современном мире имеет и придуманная более четырёх тысяч лет назад шумерами шестидесятеричная система счисления, которая, по-видимому, являлась результатом наложения двух более древних систем счисления — двенадцатеричной и пятеричной.

Так, например, в одном часе шестьдесят минут, а в одной минуте –шестьдесят секунд. Более того, деление на минуты и секунды принято и при измерении углов –там тоже в одном градусе шестьдесят минут, а в одной минуте шестьдесят секунд. Например, угол в один радиан равен примерно 57°17′45′′ — 57 градусам 17 минутами 45 секундам.

Но давайте вернёмся к привычной нам десятеричной системе счисления.

Вот есть, например, число

23 456.

За что отвечает каждая его цифра? В этом числе цифра 6 –это количество единиц, цифра 5 — количество десятков, цифра 4 — количество сотен, цифра 3 — количество тысяч, а цифра 2 — десятков тысяч.

Иными словами,

23 456 = 20 000 + 3000 + 400 + 50 + 6 =

= 2 · 10 000 + 3 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 6 =

= 2 · 10⁴ + 3 · 10³ + 4 · 10² + 5 · 10 + 6.

Именно поэтому числа, записанные в десятеричной системе, легко умножать на десять:

23 456 · 10 = (2 · 10⁴ + 3 · 10³ + 4 · 10² + 5 · 10 + 6) · 10 =

= 2 · 10⁵ + 3 · 10⁴ + 4 · 10³ + 5 · 10² + 6 · 10 =

= 234 560.

Благодаря этому важному свойству и распределительному закону умножения работает хорошо вам знакомый метод умножения в столбик.

Умножение в столбик

Давайте вспомним метод умножения в столбик и наконец поймем, почему он работает. Пусть нам нужно, например, умножить 1234 на 23 456:

1234 · 23 456 =

= 1234 · (2 · 10⁴ + 3 · 10³ + 4 · 10² + 5 · 10 + 6) =

= 1234 · 6 + 1234 · 5 · 10 + 1234 · 4 · 10² + 1234 · 3 · 10³ + 1234 · 2 · 10⁴.

А как посчитать, чему равно, например, произведение 1234 · 6? Это же

(1 · 10³ + 2 · 10² + 3 · 10+4) · 6=

=4 · 6 + 3 · 6 · 10 + 2 · 6 · 10² + 1 · 6 · 10³=

= 24+ 180 + 1200 + 6000 = 7404.

Аналогично получаем, что

1234 · 5 · 10 = 6170 · 10;
1234 · 4 · 10² = 4936 · 10²;
1234 · 3 · 10³ = 3702 · 10³;
1234 · 2 · 10⁴ = 2468 · 10⁴.

Поэтому

1234 · 23 456=

=7404 + 61 700 + 493 600 + 3 702 000 + 24 680 000.

Чтобы было проще складывать эти числа, их записывают так, чтобы соответствующие разряды оказались друг под другом (картинка внизу слева):

Однако нули в конце промежуточных чисел, получившиеся из-за степеней десятки, обычно не пишут, а записывают результаты умножения цифр второго числа на первое число «лесенкой» (картинка вверху справа).

Хотя это довольно часто приводит к ошибкам у школьников.

Вот так работает хорошо вам известный способ умножения в столбик. По сути, это многократно применённый распределительный закон умножения.

_{Отрывок из книги Бориса Трушина «Математика с Борисом Трушиным. Теория чисел: с нуля до теоремы Эйлера». М.: Издательство Бомбора (Эксмо), 2024.}