- Источник:
Shutterstock / Fotodom.ru
Сложение
Для начала вспомним . Раскрытие скобок предполагает не только избавление от них, но и изменение порядка вычислений. Т.е. раскрывая скобки, мы можем поменять первоначальный алгоритм вычисления результата.
Начнем с раскрытия скобок при сложении чисел.
Чтобы к числу прибавить сумму, нужно прибавить к нему каждое слагаемое.
a + (b +c) = a + b + c
15 + (20 + 30) = 15 + 20 + 30 = 65
Но не все так однозначно. А что делать, если у нас не все числа положительные?
Если мы складываем числа, то при раскрытии скобок сохраняются стоящие перед числом знаки.
Давайте рассмотрим примеры:
70 + (25 − 10) = 70 + 25 − 10 = 85
150 + (− 10 + 30) = 150 − 10 + 30 = 170
200 + (− 50 − 50) = 200 − 50 − 50 = 100.
Когда у нас в выражении несколько скобок — правило не меняется.
Например,
50 + (− 200 − 50) + 60 + (− 15 + 25) + (− 30) =
= 50 − 200 − 50 +60 − 15 + 25 − 30 = − 200 + 60 − 15 + 25 − 30 =
= − 140 − 15 + 25 − 30 = − 155 + 25 − 30 = − 130 − 30 = − 160.
Итак, мы просто избавляемся от скобок и сохраняем все знаки перед числом. Если складываем отрицательные числа, то сохраняем знак минус «−» перед ними.
Вычитание
Если мы вычитаем числа, то у нас перед скобкой знак минус «−» — значит, мы все знаки в скобках меняем на противоположные.
a − (b + c) = a − b − c
Обратимся к примерам:
100 − (50+60) = 100 − 50 − 60 = 50 − 60 = − 10
500 − (200 − 100) = 500 − 200 + 100 = 300 + 100 = 400
45 − (− 15 + 3) = 45 + 15 − 3 = 60 − 3 = 57
25 − (− 20 − 30) = 25 + 20 + 30 = 45 + 30 = 75.
Мы видим, что если перед первым слагаемым не стоит знак (мы понимаем, что это знак плюс «+»), то при раскрытии скобок без раздумий ставим знак минус «−».
Совместим с вами правила раскрытия скобок при сложении и вычитании и получим следующие примеры:
150 + (52 − 25) − 48 − (− 25+63) = 150 + 52 − 25 − 48 + 25 − 63 = 202 − 48 − 63 = 91;
14 − (68 − 67) + 78 + (− 85 + 70) = 14 − 68 + 67 + 78 − 85 + 70 = − 54 + 67 + 78 − 85 + 70 = 91 − 85 + 70 = 76;
55 + (63 − 87) + 73 − (90 − 10) = 55 + 63 − 87 + 73 − 90 + 10 = 118 − 87 + 73 − 90 + 10 = 31 + 73 − 90 + 10 = 104 − 90 + 10 = 14 + 10 = 24.
Умножение
умножить число на сумму, следует умножить его на каждое слагаемое в скобках, а затем сложить полученные результаты.
a * (b + c) = ab + ac;
(a + b) * c = ac + bc.
Соответственно, при умножении числа на разность нужно умножить его на уменьшаемое, потом на вычитаемое, а затем отнять от первого полученного результата второй.
a * (b − c) = ab − ac;
(a − b) * c = ac − bc.
Рассмотрим примеры для обоих случаев:
15 * (25 + 25) = (15*25) + (15*25) = 375 + 375 = 750
(56+44) * 2 = (56 * 2) + (44 * 2) = 112 + 88 = 200
6 * (50 − 10) = (6 * 50) − (6 * 10) = 300 − 60 = 240
(100 − 23) * 3 = (100 * 3) − (23 * 3) = 300 − 69 = 231.
Если число, стоящее перед скобкой, отрицательное, то все значения в скобках поменяют свой знак на противоположный.
Взглянем на примеры:
− 5 * (25 + 25) = (− 5 * 25) + (− 5 * 25) = − 250
− 2 * (21 − 15) = (− 2 * 21) + (2 * 15) = − 42 + 30 = − 12
− 10 * (− 17 + 7) = 170 + (− 70) = 100
− 3 * (− 10 − 5) = 30 + 15 = 45.
Давайте рассмотрим произведение нескольких чисел
При умножении положительных чисел мы просто избавляемся от скобок — результат не меняется.
(a * b) * c = a * b * c
Обратимся к примерам:
(100 * 2) * 3 = 100 * 2 * 3 = 200 * 3 = 600
(50 * 3) * 20 = 50 * 3 * 20 = 150 * 20 = 3 000.
Для неположительных чисел вспомним правила:
положительное число при умножении на отрицательное дает отрицательный результат:
«+» * «−» = «−»;отрицательное число при умножении на положительное тоже дает отрицательный результат:
«−» * «+» = «−»;два отрицательных числа при умножении друг на друга дают положительный результат:
«−» * «−» = «+».
Потренируемся:
15 * (− 2) = − 30
(− 10) * 5 = − 50
(− 25) * (− 10) = 250.
Перейдем теперь к умножению скобок друг на друга.
(a + b) * (c − d) = a * (c − d) + b * (c − d) = ac − ad + bc − bd
Т.е. каждое число из первой скобки мы умножаем на каждое число из второй.
Давайте попробуем:
(10 + 20) * (50 − 40) = 10 * (50 − 40) + 20 * (50 − 40) = 500 − 400 + 1000 − 800 = 100 + 1000 − 800 = 1100 − 800 = 300.
Деление
Если «скобка делится» на число, то мы каждое число из нее делим на делитель:
(250 + 50): 5 = (250: 5) + (50: 5) = 50 + 10 = 60
(1 000 − 100): 10 = (1 000: 10) − (100: 10) = 100 − 10 = 90.
Правила знаков выполняются, как и при умножении.
Если у нас внутри скобки, но делимое стоит перед ней, то мы делим его на первое число, а на второе — умножаем.
a: (b: c) = a: b * c
Например, 100: (20: 2) = 100: 20 * 2 = 5 * 2 = 10.
Если делимое стоит после скобки, то первое число в ней делится и на делитель, и на второе число.
(b: с): a = b: c: a
Например, (800: 4): 5 = 800: 4: 5 = 200: 5 = 40.
Совместим с вами в примерах одновременно и умножение, и деление чисел:
a * (b: с) = a * b: с или a * (b: с) = a: c * b
450 * (50: 10) = 450 * 50: 10 = 22 500: 10 = 2 250
450 * (50: 10) = 450: 10 * 50 = 45 * 50 = 2 250.
(a: b) ⋅ c = с ⋅ a: b или (a: b) ⋅ c = с: b ⋅ a
(80: 10) * 2 = 2 * 80: 10 = 160: 10 = 16
(80: 10) * 2 = 2: 10 * 80 = 0,2 * 80 = 16.
a: (b * c) = a: b: c или a: (b * c) = a: c: b
520: (100 * 4) = 520: 100: 4 = 5,2: 4 = 1,3
520: (100 * 4) = 520: 4: 100 = 130: 100 = 1,3.
(b * c): a = (b: a) * c или (b * c): a = (c: a) * b
(230 * 2): 4 = (230: 4) * 2 = 57,5 * 2 = 115
(230 * 2): 4 = (2: 4) * 230 = 0,5 * 230 = 115.
Отметим, что школьники зачастую выполняют сначала действие в скобках, а затем за ее пределами.
Давайте попробуем на любых пяти упомянутых выше примерах:
150 + (− 10 + 30) = 170
150 + (− 10 + 30) = 150 + (20) = 170(56 + 44) * 2 = 200
(56 + 44) * 2 = (100) * 2 = 200(80: 10) * 2 = 16
(80: 10) * 2 = (8) * 2 = 16(800: 4): 5 = 40
(800: 4): 5 = (200): 5 = 40− 2 * (21 − 15) = − 12
− 2 * (6) = − 12.
Как мы видим, если выполнять сначала действия в скобках, то результат меняться не будет. Поэтому такой способ решения также пригоден при счете.
Итак, мы с вами разобрали основные правила раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении чисел. Они помогут верно решить пример и не ошибиться!
Какой знак пропущен в выражении:
a − (b + c) = a − b … c
Какой знак пропущен в выражении:
a: (b: c) = a: b … c
Какой результат дает умножение отрицательного числа на положительное?
Раскройте скобки и решите пример:
(70: 50) * 3 =?
Раскройте скобки и решите пример:
(51 + 32) * (58 − 39) =?
Подготовила Александра Шипова
