Схема мироздания: какую роль в науке и жизни играет симметрия

Что объединяет древний орнамент, человеческое тело, элементарные частицы и земной шар? Симметрия. Именно она вдохновляет художников и служит нитью Ариадны физикам.

Аня и Боря играют: по очереди кладут на круглый стол монеты. На каждом ходу можно положить одну на любое свободное место, но сдвигать или убирать уже выложенные монеты нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить монету.

Первый ходит Аня. Подберите для нее стратегию, позволяющую победить при любых ходах Бори. На первый взгляд, задача повергает в смятение. Пусть на столе умещается сто монет. Тогда у Ани есть сто вариантов первого хода, и для каждого из них у Бори будет 99 вариантов второго. То есть уже первые два хода дают 9900 сценариев!

Полное же число возможных партий будет астрономическим. Как выбрать идеальную стратегию среди этих необозримых вариантов? Решение изящно: первым ходом Аня кладет монету в центр стола. Затем Боря делает свой ход, все равно какой. Следующим ходом Аня кладет монету строго симметрично монете Бори (относительно центра стола).

Боря снова ходит, Аня симметрично повторяет его ход, и так далее. Аня раз и навсегда перекладывает на Борю бремя выбора. Если мальчик нашел место для своей монеты, то с противоположной стороны стола найдется точно такое же место для Аниной. А если не нашел, то проиграл, как рано или поздно и случится.

Лучший архиватор в мире

Рассмотрим еще одну задачу. В столовой ложке воды примерно 10²⁴ молекул. Испарим ее, чтобы молекулы разлетелись. Сколько нужно чисел, чтобы описать положение всех этих молекул в пространстве? Положение каждой задается тремя координатами, итого нужно 3 х 10²⁴ чисел. Это больше, чем стаканов воды в Мировом океане! Всей компьютерной памяти на планете не хватит, чтобы записать столько чисел.

Теперь представим, что молекулы собраны в регулярную решетку из одинаковых кубов, где каждая молекула — вершина куба (на самом деле кубические кристаллические решетки встречаются крайне редко и уж точно не у льда). Сколько нужно чисел, чтобы описать положение всех 10²⁴ молекул? Удивительно, но всего 12 чисел — чтобы задать центральный куб. Все остальные точно такие же кубы будут прилегать к нему гранями, обступая со всех сторон — и мы точно знаем, где будут их вершины.

В обеих задачах мы обошлись без формул и перебора необозримого количества вариантов. Более того, решения устойчивы к изменению условий. Идеальная стратегия не зависит от того, сто монет умещается на столе или сто тысяч. Она работает не только для круглого стола, но и, к примеру, для квадратного.

Аналогично, если умножить количество молекул на миллиард или септиллион, их положение задаст тот же единственный центральный кубик. Экономия компьютерной памяти будет столь же впечатляющей, если заменить кубическую решетку на гексагональную, как у реального льда (хотя он и не образует столь идеальные кристаллы).

Симметрия — мощнейший архиватор, упаковывающий неподъемное количество информации в компактные красивые схемы. Так координаты непредставимого числа молекул оказались заключены в параметры кубика.

Точка опоры

Что вообще такое симметрия? В обыденной речи: «что с одной стороны, то и с другой». Казалось бы, все понятно, но с одной стороны от чего именно? Ане ответ был ясен: от центра стола. Но подсунем игрокам стол в форме равностороннего треугольника. Аня кладет монету в центр, а Боря — в угол. Тут-то стратегия и дает сбой.

«Отзеркалив» ход Бори от центра треугольника, Аня кладет монету не в угол, а на середину стороны. Все потому, что треугольник не обладает центральной симметрией (как называют это свойство математики). Легко понять, что это такое: начав с любой точки фигуры, идите в центр и считайте шаги. Миновав центр, идите столько же шагов, не сворачивая.

Если фигура центрально симметрична, как круг или квадрат, точка финиша будет как две капли воды похожа на точку старта. Вышли из угла — придете в противоположный. А вот если центральной симметрии нет, финал может быть неожиданным. Значит ли это, что равносторонний треугольник — не симметричная фигура? В это трудно поверить, ведь «симметрия» означает «соразмерность». Что может быть соразмернее правильного треугольника? Разгадка проста: симметрия бывает не только центральной.

Рассеченные надвое

Какой симметрией обладают наши тела? Точно не центральной. Где ни ищи центр, на пути вверх от него мы встретим голову, а на пути вниз — совсем другие ландшафты. Наша левая половина зеркальное отражение правой. Может быть, провести вертикальную прямую через темя и считать от нее? Уже лучше, но считать от прямой можно не только влево-вправо, но и вперед-назад. Спереди — лицо, сзади — затылок. Снова не получается соответствия.

Правильное решение — провести точно между глаз вертикальную плоскость. Где слева от плоскости ухо, там справа — другое ухо. То же касается глаз, ноздрей и т. п. А «вперед-назад» от этой плоскости считать нельзя: и вперед, и назад она уходит в бесконечность, рассекая нас надвое. Такая симметрия называется зеркальной.

Ожившие отражения

Другое название зеркальной симметрии — двусторонняя: тело делится на две симметричные друг другу стороны. Важно, что их именно две, а не шесть или четыре. Живот не симметричен спине, а ноги — голове.

Двусторонняя симметрия тел у более чем 99% известных животных. Их так и называют двусторонне-симметричными, или билатериями. Сравнение ДНК показывает, что билатерии произошли от общего предка. Он жил около 560 млн лет назад, задолго до выхода животных на сушу. Билатерии не были первыми животными. Почему именно двусторонне устроенные существа размножились в океане, вышли на сушу и поднялись в воздух? Билатерии сделали ключевое «изобретение»: сквозной пищеварительный тракт со ртом на одном конце тела и анальным отверстием на другом.

Мы не знаем, как они выглядели, вероятнее всего, походили на червей, ползавших по дну и рывших норки. Медуза с ее одним отверстием далеко не зароется: едва заглотив грунт, будет вынуждена выплевывать его тем же путем. Червь же, похожий на трубку, может сколько угодно рыть и при этом питаться. По одной из версий, именно билатерии первыми освоили толщу ила, эпохами копившую питательный органический осадок. Это был нетронутый ресурс, на котором они эволюционировали — чему мы обязаны своим существованием.

Итак, понятно, почему один конец тела отличается от другого. Двигаться нужно ртом вперед, и здесь же логично разместить органы чувств, разведывающие обстановку. А почему живот отличается от спины? Уместно вспомнить, что все билатерии, кроме людей, проводят жизнь животом вниз. Вверху и внизу разные среды. Внизу поверхность земли или дна морского, вверху — толща воздуха или воды. А вот пространство слева и справа ничем принципиально не различается. Поворачивать в обе стороны должно быть одинаково удобно, иначе животное начнет двигаться по кругу.

Подражая природе

Машины имеют зеркальную симметрию по тем же причинам, что и живые существа. Например, автомобиль должен ехать вперед. Поэтому передние фары у него для освещения, а задние — для сигналов другим участникам движения. По понятным причинам колеса у машины внизу, а не вверху.

А вот левая и правая сторона почти не отличаются друг от друга, потому что повороты влево и вправо встречаются одинаково часто. Некоторые предметы мы делаем симметричными из-за собственной анатомии. Зеркально-симметричному человеку удобно сидеть на зеркально-симметричном стуле. Но иногда мы блюдем симметрию лишь потому, что она кажется нам красивой. Лучше всего это видно в узорах, единственное назначение которых — услаждать взгляд.

Но вернемся к правильному треугольнику. Обладает ли он зеркальной симметрией? Да, и больше нас. У него не одна плоскость симметрии, а три. Каждая из них перпендикулярна плоскости чертежа и содержит медиану — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Вращая мир вокруг себя

Исчерпали ли мы все виды симметрии, добавив к центральной зеркальную? Нет. Возьмем, например, трискелион с флага острова Мэн. Есть ли у него центральная симметрия? Нет. Напротив колена через центр — пятка, а не колено. Зеркальной симметрии тоже нет: как ни проводи плоскость, по одну сторону окажутся две пятки, а по другую — одна. Какая же симметрия притаилась в этой красивой фигуре?

Чтобы ответить, нам придется изменить взгляд на симметрию. До сих пор мы ползали по фигуре, как букашки, гадая, что встретим с противоположной стороны. Давайте теперь станем великанами и будем вертеть фигуру как хотим.

Зеркально-симметричную фигуру можно отразить в плоскости симметрии как в зеркале — и получится та же фигура. Центрально-симметричную можно отразить относительно центра, и снова получится та же самая фигура. Именно так математики и определяют симметрию — как действие, которое можно проделать с фигурой, не изменив ее.

А что можно сделать с трискелионом? Всмотритесь: он будто вращается против часовой стрелки. Значит, нужно повернуть его вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. И не как-нибудь, а на треть полного оборота. Тогда первая нога встанет на место второй, вторая — на место третьей, и в целом фигура не изменится. То же самое будет, если повернуть символ на две трети оборота или на полный оборот. Как говорят математики, у трискелиона есть ось симметрии третьего порядка.

Секрет соразмерности

Многие фигуры обладают и зеркальной, и осевой симметрией одновременно. Посмотрите на морскую звезду или цветок флокса. Легко угадывается плоскость симметрии, но в то же время и ось пятого порядка (минимальный поворот, совмещающий фигуру с собой — на пятую часть оборота). Симметрию обоих видов имеют и многие предметы быта: тарелки, бутылки, швабры, столы.

Математики доказали удивительную вещь: любая симметрия плоской фигуры сводится к комбинации вращений и отражений. Во всяком случае, когда речь идет о фигурах конечного размера. У бесконечных узоров бывают и другие симметрии, например, симметрия сдвига.

Взгляните на орнамент из гробницы Тутанхамона. Мысленно продолжите оранжевую полосу со скарабеями до бесконечности в обе стороны. Рисунок на этой полосе не изменится, если сдвинуть ее целиком влево или право на расстояние между двумя соседними скарабеями. То же самое будет при сдвиге на два таких расстояния, три и вообще целое число.

Упрощение мира

Симметрия — это любое действие, не меняющее фигуру. Заменим «фигуру» на «систему» или «объект» и из геометрического принципа получим физический. Мы уже упоминали о кристаллах, но роль симметрии в физике гораздо шире кристаллографии.

Законы физики одни и те же во всех точках пространства, во всех направлениях и в любой момент. Другими словами, мы получим тот же результат эксперимента, сдвинув лабораторный стол, повернув его или начав опыт в другой день. Что это, если не симметрия относительно сдвига и поворота в пространстве, а также течения времени? Симметрия упрощает мир, заменяет хаос системой.

Если бы физические законы зависели от времени суток или точки на карте, мир было бы куда сложнее изучать — да и выжить в нем. Кажется, что мы за уши притягиваем самоочевидные факты к мудреной идее. Но это только на первый взгляд. Из трех упомянутых симметрий пространства и времени математически строго выводятся законы Ньютона. Эти законы — основа всей классической механики. Они управляют движением тел в огромном диапазоне масштабов, от молекул в газе до галактик во Вселенной.

Частицы смысла

Симметрия играет огромную роль и в физике элементарных частиц, из которых, между прочим, состоит все на свете. В начале 1960-х Мюррей Гелл-Манн, Юваль Неэман и Джордж Цвейг разглядели симметрию в нагромождении адронов. Так называются частицы, участвующие в сильном взаимодействии (именно оно скрепляет атомное ядро, не давая протонам разлететься).

Соображения симметрии заставили Гелл-Манна заключить, что адроны состоят из более мелких частиц — кварков. Получились частицы с зарядом меньше заряда электрона — явление по тем временам немыслимое. Однако эксперименты подтвердили эту теорию. Огромный зоопарк адронов свелся к комбинациям шести видов кварков, а Гелл-Манн получил Нобелевскую премию.

Но, пожалуй, самое знаменитое достижение теоретической физики на ниве симметрии — CPT-теорема. Она гласит, что физические законы не изменятся, если одновременно каждую частицу заменить на античастицу, каждый предмет — на его зеркальное отражение, а ход времени — на обратный. Между прочим, из этой теоремы следует, что у каждой частицы есть античастица с такой же массой, временем жизни и величиной электрического заряда (но с обратным знаком заряда). Именно такие античастицы обнаруживаются в экспериментах.

В плену красоты?

Пожалуй, нет ни одной фундаментальной физической теории, не содержащей какой-нибудь симметрии. И если в начале XX века симметрия выглядела вишенкой на торте, то теперь — краеугольным камнем физики. Предложите новую теорию, и ученые немедленно спросят, какая симметрия лежит в ее основе. Конечно, есть опасность придумать красивую, но несуществующую в природе симметрию, и построить вокруг нее ошибочную теорию. Именно так, видимо, произошло с теорией суперсимметрии.

Все элементарные частицы делятся на два класса: фермионы (например, электрон) и бозоны (например, фотон). Теория суперсимметрии разом удвоила ожидаемое число частиц, причем исключительно «для красоты». Каждому известному фермиону она поставила в соответствие еще не открытый бозон, и наоборот.

Но эксперименты на БК не обнаружили «суперпартнеров» для известных частиц. Ошибочные теории встречаются куда чаще правильных, просто реже получают огласку. Так что немногие громкие ошибки едва ли о чем-то говорят.

Эйнштейн сказал, что Господь изощрен, но не злонамерен. Можно понимать слова гения так: возможно, симметрия новых физических законов будет очень неожиданной для теоретиков, но она обязательно будет.

_{Фото: PXHERE; ISTOCK; SHUTTERSTOCK / FOTODOM (х2); NOBEL FOUNDATION ARCHIVE}

_{Материал опубликован в журнале «Вокруг света» № 2, март 2024}