Математическое чутье — это больше чем просто знание формул и умение решать задачи. Это способность интуитивно находить решение, видеть закономерности, ориентироваться в числах и чувствовать логику, которая скрывается за уравнениями. Возможно, вы удивитесь, но даже простые повседневные решения, от планирования бюджета до выбора оптимального маршрута, показывают вашу способность к точным наукам.
Изображение сгенерировано с помощью нейросети и носит иллюстративный характер.
- Источник:
Midjourney
Этот тест поможет вам понять, насколько хорошо у вас развиты математические инстинкты. Умеете ли вы находить неожиданные связи? А насколько легко вы справляетесь с задачами на логику и числа? Пройдите тест и узнайте, есть ли у вас скрытый талант к точным наукам!
Задача о прокладке дорог
Представьте, что вы мэр маленького города с пятью районами, которые расположены так, что их можно изобразить на карте как вершины правильного пятиугольника. Каждый район должен быть соединён с каждым другим дорогой, и у вас есть определённый бюджет на строительство дорог.
Вопрос 1: Какое минимальное количество дорог необходимо проложить, чтобы между каждым районом можно было пройти, переходя через другие районы?
Вопрос 2: Теперь представьте, что вы строите дорогие, современные скоростные трассы, и каждая дорога стоит по-разному. Для каждой пары районов приведены следующие стоимости строительства дорог:
Район 1 и Район 2: 4 млн
Район 1 и Район 3: 3 млн
Район 1 и Район 4: 6 млн
Район 1 и Район 5: 2 млн
Район 2 и Район 3: 5 млн
Район 2 и Район 4: 7 млн
Район 2 и Район 5: 4 млн
Район 3 и Район 4: 3 млн
Район 3 и Район 5: 6 млн
Район 4 и Район 5: 5 млн
Какой минимальный бюджет потребуется, чтобы соединить все районы (не обязательно прямыми дорогами между каждой парой) и при этом сделать строительство экономичным?
Подсказка к решению: Для первой части это задача построения связного графа с минимальным числом рёбер, а для второй части вам потребуется алгоритм нахождения минимального остовного дерева, например, алгоритм Краскала или Прима.
Эта задача помогает развивать навыки в комбинаторике и работе с графами, а также демонстрирует прикладную математику в повседневных задачах планирования!
Изображение сгенерировано с помощью нейросети и носит иллюстративный характер.
- Источник:
Midjourney
Решение
Часть 1: Минимальное количество дорог
В первой части задачи нас просят найти минимальное количество дорог, чтобы можно было добраться из одного района в любой другой. Это задача из области теории графов, и ее можно представить следующим образом:
Пятиугольник как граф. Подумайте о пяти районах как о вершинах графа, а о дорогах как о рёбрах, которые соединяют эти вершины.
Связный граф. Граф будет связным, если из любой вершины (района) можно пройти в любую другую через рёбра (дороги).
Чтобы соединить 5 вершин минимальным числом рёбер и сделать граф связным, нам нужно проложить только 4 дороги. Это делается так:
Соединяем 1-й район со 2-м.
Соединяем 2-й район с 3-м.
Соединяем 3-й район с 4-м.
Соединяем 4-й район с 5-м.
Теперь любой район можно достигнуть из любого другого, так что граф становится связным. Таким образом, минимальное количество дорог для соединения всех районов — это 4.
Часть 2: Минимальный бюджет с учётом стоимости дорог
Во второй части задачи у нас есть стоимость строительства каждой дороги. Теперь мы хотим найти минимальный бюджет, при котором районы будут связаны, то есть построить так называемое минимальное остовное дерево.
Давайте подумаем, как решить эту задачу:
Составление таблицы стоимостей. У нас есть стоимости для всех дорог:
(1-2): 4 млн, (1-3): 3 млн, (1-4): 6 млн, (1-5): 2 млн
(2-3): 5 млн, (2-4): 7 млн, (2-5): 4 млн
(3-4): 3 млн, (3-5): 6 млн
(4-5): 5 млн
Алгоритм нахождения минимального остовного дерева. Для решения этой задачи можно использовать алгоритм Краскала, который находит минимальное остовное дерево, выбирая рёбра с наименьшими весами.
Пошаговое добавление рёбер:
Выбираем самую дешевую дорогу: (1-5) за 2 млн.
Следующую дорогу выбираем (1-3) за 3 млн.
Дорога (3-4) тоже стоит 3 млн, добавляем её.
Дорога (1-2) стоит 4 млн, и добавляем её тоже.
Итак, у нас есть четыре дороги с общей стоимостью 2 + 3 + 3 + 4 = 12 млн.
Ответы:
В первой части: минимум 4 дороги.
Во второй части: минимальный бюджет — 12 млн рублей.
