Загадочная сила метода проб и ошибок: в чем суть малой теоремы Ферма

Опалы и жемчужины

Перед вами браслет: семь камней, расположенных по кругу, — несколько опалов и несколько жемчужин^*.

Вот еще три браслета.

^*_{Строго говоря, жемчуг — это не камень, он вообще не относится к минералам. Однако по традиции его с древности причисляют к драгоценным камням.}_{Прим. пер.}

А вот все браслеты с четырьмя камнями.

Их шестнадцать. Вы можете пересчитать браслеты на рисунке и убедиться, что я ничего не пропустил, но существует и более причудливый способ. Начиная сверху и двигаясь по часовой стрелке, мы получаем два варианта выбора для первого камня: это либо опал, либо жемчужина.

Для каждого из этих двух вариантов есть два способа выбрать второй камень; следовательно, два камня мы можем выбрать четырьмя способами. Для каждого из этих четырех способов у нас есть два варианта выбрать третий камень, то есть всего получается восемь вариантов выбрать три камня.

И наконец, для каждого из этих восьми вариантов последний камень может оказаться опалом или жемчужиной, так что в итоге получаем 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

Ну, или можно просто посчитать! Однако преимущество нашего причудливого способа в том, что это рассуждение можно перенести на другие браслеты, например на изображенный выше браслет из семи камней. Число способов его изготовить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128, и мой фломастер не настолько тонок, чтобы уместить все эти варианты на одной странице.

Однако я уже слышу, как вы говорите: а не нарисовано ли тут больше браслетов, чем надо? Посмотрите на первый и третий браслет с семью камнями: третий получится, если вы повернете первый на две позиции по часовой стрелке. Это действительно другой браслет или тот же, если смотреть на него под другим углом?

Пока будем придерживаться версии, что браслеты разные, если они выглядят на странице по-разному. Однако не забудьте об идее вращения. Мы могли бы назвать два браслета конгруэнтными, если один можно повернуть и получить второй (разумеется, это означает, что второй тоже можно повернуть так, чтобы получился первый)^*.

^*_{Это прекрасно соответствует определению конгруэнтности (равенства), когда фигуры называются конгруэнтными (равными), если вы можете перевести одну в другую с помощью поворота или иного движения.}

Может, давайте красиво расположим все браслеты в витрине по конгруэнтности? Каждый браслет можно повернуть семью способами, поэтому группируем все 128 браслетов блоками по семь штук. Сколько будет блоков? Поделим 128 на 7 и получим 18,2857142…

Ура, снова ошибка! Что-то пошло не так, поскольку 128 не делится на 7.

Проблема возникла из-за некоторых браслетов, которые я не нарисовал. Например, вариант исключительно из опалов.

Семь вращений этого браслета дадут тот же самый браслет! Поэтому это не группа из семи предметов, а группа из одного предмета. Браслет исключительно из жемчужин тоже образует собственную группу.

А могут быть другие группы меньшего размера? Конечно. Вот эти два браслета из четырех камней образуют собственную группу.

Причина в том, что поочередное расположение опал — жемчужина повторяет себя при двух поворотах. Поэтому вы получите из первоначального браслета не четыре разных расположения, а только два.

Однако для браслета с семью камнями это не так. Включите воображение и представьте, что у вас есть браслет с семью камнями, который можно повернуть три раза и получить исходный. Тогда у вас группа из трех предметов: исходный браслет; браслет, повернутый один раз; браслет, повернутый дважды. Погодите, а если некоторые из них будут одинаковыми? Чтобы избавиться от этого неприятного варианта, давайте предположим, что три — это наименьшее число поворотов, которое возвращает браслет в первоначальное положение^*.

^*_{Для педантов уточним: наименьшее число больше нуля.}

Если тройной поворот возвращает нас к исходному браслету, то аналогичный возврат будет происходить после шести и девяти поворотов. Но теперь у нас возникает проблема, потому что семь поворотов браслета однозначно переводят его в первоначальное положение, так что девять поворотов — это то же самое, что и два поворота; однако два поворота не могут перевести браслет в исходное положение, поскольку мы только что предположили, что для этого нужно не менее трех поворотов.

И мы опять ощущаем острый привкус противоречия.

Возможно, начинать с числа 3 было неудачной идеей? Что, если в группе пять элементов, то есть пять — это наименьшее количество поворотов, восстанавливающих исходный браслет? Но тогда десять поворотов тоже его восстановят, а десять поворотов — то же самое, что и три. Снова противоречие?! А если два поворота? Это срабатывало для браслета с четырьмя камнями. Если два поворота восстанавливают исходный браслет, то это же сделают четыре, шесть и восемь поворотов, но восемь — ой-ой-ой — то же самое, что и один поворот.

У нас не было такой проблемы с четырьмя камнями. Вы дважды поворачиваете браслет и получаете исходный, поворачиваете четыре раза и тоже получаете исходный. Однако никакого противоречия тут нет, потому что четыре поворота вернут вас в начало. Все у вас выходит, поскольку четыре кратно двум. А проблемы с семью камнями возникают, потому что семь не делится на три, пять или на два. Семь вообще ни на что не делится, потому что семь — простое число.

Кстати, этот принцип может многое рассказать нам о цикадах. Каждые 17 лет мой родной штат Мэриленд буквально оккупирует большой восточный выводок: из-под земли появляются сотни миллиардов насекомых, покрывающих землю стрекочущим ковром. Какое-то время вы пытаетесь на них не наступать, но потом сдаетесь, потому что их слишком много.

Но почему 17? Многие специалисты по цикадам (этих специалистов гораздо больше, чем вы думаете, и, буду с вами честен, они давно ведут по этому поводу жаркие споры, проявляя удивительную изобретательность в издевательствах над чужими гипотезами о периодичности цикад) говорят, что цикады считают под землей до семнадцати, потому что 17 — простое число.

Например, если бы они появлялись на поверхности раз в 16 лет, то можно было бы вообразить хищника, который эволюционировал бы так, чтобы активно размножаться раз в 8, 4 и 2 года, чтобы у него при каждом появлении имелось достаточное количество пищи^*.

^*_{Не при каждом, а при каждом втором, четвертом и восьмом соответственно. Кого будет есть хищник в оставшиеся годы, непонятно.}_{Прим. науч. ред.}

Однако ни одна голодная ящерица или птица не может синхронизироваться с большим восточным выводком^*, если только у нее самой не будет периода длиной в 17 лет^**.

Когда я говорю, что 7 (как 5, 17 или 2) не делится ни на что, я преувеличиваю: конечно же, 7 делится на 1 и на 7. Поэтому существуют два вида групп браслетов: группы по семь браслетов и группы по одному браслету. И в группе из одного браслета все камни должны быть одинаковыми, поскольку любой поворот оставляет браслет без изменений.

^*_{Выводок — это группа периодических цикад с общим началом цикла. Теоретически возможно 17 выводков, которые традиционно нумеруются от I до XVII (но на самом деле не все варианты реализуются). Выводок I последний раз появлялся в 2012 году, а следующий раз появится в 2029, выводок II — в 2013-м и 2030-м и так далее. Большой восточный выводок, о котором пишет автор, — это выводок X, его прошлое появление было в 2004 году. При этом разные выводки появляются в разных местах США.}_{Прим. пер.}

^**_{Существуют также периодические цикады с периодом в 13 лет, их выводки нумеруются от XVIII до XXX, хотя реально их не 13 выводков, а меньше.}_{Прим. пер.}

Таким образом, полностью опаловый и полностью жемчужный браслет — единственные две группы из одного браслета; остальные 126 браслетов разбиваются на группы по семь. Вот теперь все получается, потому что 126 / 7 = 18 групп.

Что, если мы перейдем к 11 камням? Общее количество браслетов вычисляется путем перемножения одиннадцати двоек, то есть равно 2¹¹ = 2048. Опять же, есть только два однородных браслета, а остальные 2046 распадаются на группы по 11; если быть точным, то таких групп 186.

Вы можете продолжать аналогичным образом:
2¹³ = 8192 = 2 + 630 × 13;
2¹⁷ = 131 072 = 2 + 7710 × 17;
2¹⁹ = 524 288 = 2 + 27594 × 19.

Заметили, что я пропустил 15? Я сделал это, во-первых, потому что оно составное, 15 = 3 × 5, а во-вторых, потому что оно не сработает! 2¹⁵ — 2 = 32 766, и это число не делится на 15 нацело. (Энтузиасты поворачивания браслетов могут самостоятельно проверить, что 32 768 браслетов можно разделить на 2 группы по одному браслету, 2 группы по три, 6 групп по пять и 2182 группы по пятнадцать браслетов).

Вы думаете, что мы дурачились с вращающимися браслетами? Но на самом деле мы использовали геометрию окружности и ее вращение, чтобы доказать факт о простых числах, который на первый взгляд совершенно не выглядит геометрическим. Геометрия скрыта повсюду, в самой сути вещей.

Наше наблюдение о простых числах — это не просто факт, а факт с именем: его называют малой теоремой Ферма в честь Пьера де Ферма — первого человека, который его записал^*.

Какое бы простое число n вы ни взяли, каким бы большим оно ни было, 2 в n-й степени будет на 2 больше, чем число, кратное n (при делении 2 в n-й степени на n получится остаток 2).

Ферма не был профессиональным математиком (во Франции XVII века таких людей практически не существовало). Провинциальный юрист, советник парламента в Тулузе, он жил вдали от центра событий в Париже и участвовал в научной жизни того времени в основном путем переписки со своими современниками-математиками.

Впервые он сформулировал малую теорему в 1640 году в письме Бернару Френиклю де Бесси, с которым активно обменивался мнением о совершенных числах^**. Ферма изложил теорему, но не привел ее доказательства, написав Френиклю, что включил бы его в письмо, «если бы оно не было таким длинным».

^*_{На самом деле это всего лишь один из частных случаев теоремы Ферма. В реальности для любого числа}_m_{, а не только числа 2, число}_m^p_{при делении на}_p_{дает остаток}_m_.

^**_{Совершенное число — это число, сумма делителей которого (не считая самого числа) равна этому числу. Например, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Для современных математиков их очарование довольно неясно, но Евклид их любил, что дало им определенный статус в глазах первых специалистов по теории чисел. Приятно превзойти Евклида.}

Это классический прием Пьера де Ферма. Если вы слышали его имя, то, скорее всего, в связи не с малой теоремой, а с Великой (или Последней) теоремой Ферма, которая вообще была и не теоремой, и не последней в его жизни. Это было предположение о числах, записанное на полях экземпляра «Арифметики» Диофанта примерно в 1630-х годах.

Ферма отмечал, что придумал поистине удивительное доказательство, но поля книги слишком малы, чтобы его вместить. В конце концов Великая теорема Ферма действительно оказалась теоремой, но это выяснилось только в 1990-х годах, когда Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор наконец завершили ее доказательство^*.

^*_{О драматической истории этого доказательства см.: Сингх С. Великая теорема Ферма. М. : МЦНМО, 2000.}_{Прим. науч. ред.}

Один из способов это принять — согласиться с тем, что Ферма был своего рода провидцем, умеющим делать правильные математические утверждения без их доказательства — примерно так, как талантливый шашист может интуитивно ощущать правильность хода, не просчитывая всей дальнейшей последовательности ведущих к победе ходов. Но лучше все же предположить, что Ферма был обычным человеком, причем не всегда внимательным!

Несомненно, Ферма быстро понял, что у него нет доказательства так называемой Великой теоремы, поскольку позднее писал о ее частных случаях и больше никогда не заявлял, что знает доказательство в общем случае.

Читайте книгу целиком

Математику называют царицей наук, а ее часть — геометрия — лежит в основе того, что требуется для реального понимания мира. Профессор математики в Университете Висконсин-Мэдисон, научный сотрудник Американского математического общества Джордан Элленберг больше 15 лет популяризирует свою любимую дисциплину.

В книге с присущими ему легкостью и юмором он рассказывает, что геометрия не просто измеряет мир — она объясняет его. Геометрия не где-то там, вне пространства и времени, а прямо здесь, с нами, смешанная с рассуждениями повседневной жизни. Она помогает видеть скрытые взаимосвязи и алгоритмы во всем: в обществе, политике и бизнесе.

Реклама. www.mann-ivanov-ferber.ru