Семь
Максимальное число согласных букв подряд — семь, в слове «контрвстреча». Конечно, не учитывая различного рода языковые каламбуры.
По шесть согласных букв подряд встречаются в «контрстратегии», «предпразднстве», «сверхвстревоженном», «сверхвстряске», «фольксштурме» и еще нескольких словах.