Прелести цепной линии: как Антонио Гауди использовал достижения математики для создания своих шедевров

Многочисленные посетители музея при самом знаменитом архитектурном шедевре Антонио Гауди в Барселоне — церкви Святого Семейства — могут видеть довольно странную конструкцию из цепочек и грузов. Экспонат сопровождает экспликация: таким образом гениальный архитектор-самоучка находил правильную форму для сводов церкви. В его распоряжении не было компьютеров, которые позволили ли бы ему рассчитать распределение нагрузок, да и вряд ли он сумел бы правильно выписать все формулы. Придуманный им способ оказался намного проще и, в известном смысле, эффективнее. По-видимому, именно так Гауди успешно создавал и свои более ранние работы.

Естественно задать вопрос: в какой мере избранный каталонским гением метод адекватен решаемым задачам? Гауди отыскивал нужную ему форму в зеркале, где отражались хитроумно устроенные и сцепленные друг с другом веревочки и грузики, подбирая их так, чтобы общий вид соответствовал решаемой эстетической задаче, и считая, что механическая часть проблемы решится автоматически. Можно ли так поступать? Или причина рекордно долгого строительства церкви Святого Семейства именно в дефектности выбранной проектной тактики? Но тогда почему она сработала в случае всех прочих, менее амбициозных проектов? В какой-то мере ответить на эти вопросы помогает небольшой экскурс в механику и ее историю.

Ворота на Запад

Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипи в городе Сент-Луисе стоит импозантная арка Gateway Arch высотой в 192 метра, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии. Сент-Луис в свое время соединил относительно обжитые земли к востоку от Миссисипи с дикими бескрайними пространствами Запада.

Эта арка была спроектирована одним из самых известных архитекторов США Эро Саариненом в сотрудничестве с математиком и инженером Ганнскарлом Банделем. В каком-то смысле их судьбы схожи: и Сааринен, и Бандель родились за пределами Америки — первый в Финляндии, второй — в Германии. Потом оба пересекли океан: первый — отправляясь в 1934 году учиться, а второй — уже после войны, в поисках работы. Тут каждый из них нашел свою удачу, а оба они — друг друга.

По подсказке Банделя Сааринен выбрал для своей арки форму цепной линии, высота которой равнялась ширине у основания. Получилось красиво, хотя конструкция до какой-то степени противоречила интуиции. Ведь цепочка, будучи предоставленной сама себе, стремится занять такое положение в пространстве, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной, то есть центр тяжести располагался предельно низко. При переворачивании низкий центр тяжести окажется высоким, а минимум энергии обернется максимумом.

Противоречие тут кажущееся. В задачу архитектора вовсе не входит достижение энергетического минимума конструкции — нужно, чтобы она была устойчивой. И хотя, безусловно, минимуму потенциальной энергии соответствует положение устойчивого равновесия, это положение не единственное. Еще одно положение равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии, что мы и наблюдаем при перевороте цепной линии, а также при обобщении метода, использованного Гауди.

Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил. Как известно, если удается получить информацию о силах, то картинка всегда оказывается более подробной и ясной, чем та, которую можно получить, занимаясь только энергиями. У подвешенной цепочки на каждое отдельное звено действуют три силы: сила тяжести и сила упругих деформаций со стороны двух ближайших соседей. Равновесие достигается в том случае, когда сумма всех трех сил равна нулю. Подвижность цепочки гарантирует, что упругие силы на концах каждого звена лишь растягивают его, то есть всегда направлены по касательной к линии.

Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной. Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.

Хитрые кривые

Цепную линию часто путают с другой замечательной кривой, также довольно редко используемой в архитектуре. Это линия наискорейшего спуска, или брахистохрона (от греческого βραχίστος — кратчайшее время). В математике обе эти линии появились практически одновременно.

Брахистохрона родилась из классической механической задачи, предлагающей добраться из точки А в точку В за кратчайшее время. И античные механики, и механики Средних веков были уверены, что всякое тело движется с постоянной скоростью — даже если падает с высокой башни. А коли так, то время будет кратчайшим при движении по кратчайшей линии, то есть по прямой. Но, видимо, кто-то в этом выводе усомнился. Кто именно был тут первый, сказать сейчас трудно, но у Леонардо да Винчи мы находим вполне резонное замечание: если точка В расположена ниже точки А, то с бо́льшей вероятностью линией наискорейшего спуска будет дуга окружности, а не отрезок прямой.

Почти немедленно он подменил эту задачу другой, и стал искать доказательство того, что по дуге окружности шарик скатится быстрее, чем по прямой, соединяющей ее концы, фактически взявшись подтвердить справедливость догадки Леонардо да Винчи. Однако не смог сделать даже этого. В конце концов, он всего лишь доказал, что по ломаной, вписанной в дугу, шарик будет двигаться быстрее, чем по хорде. Но, понимая, что этого недостаточно, объявил свою теорему всего лишь правдоподобной, а не доказанной. В конце книги, снова возвращаясь к той же проблеме, он высказывает предположение, что брахистохроной будет не дуга окружности, а дуга параболы.

Подобная путаница для творчества Галилея чрезвычайно редка. Можно даже сказать — исключительна. Но она и весьма симптоматична: в Средние века математикам, так же как механикам и архитекторам, вполне хватало прямых и окружностей. Галилей был первым, кто сделал шаг к расширению этого скромного набора.

В самом начале XVII века он понял, что траектория тела, брошенного под углом к горизонту, — парабола. Он так гордился своим открытием и ценил его, что держал в тайне на протяжении почти тридцати лет. Он не нарушил молчания даже после того, как буквально через год после своего открытия узнал о появлении новой фигуры в арсенале астрономов: Иоганн Кеплер, изучая доставшиеся ему результаты наблюдений Тихо Браге за движением Марса, пришел к выводу, что орбита Марса имеет форму эллипса.

Впрочем, загадочная кривая, которую Галилей так и не смог обнаружить, была уже известна почти за двести лет до него. Вполне вероятно, что ему даже было о ней известно, поскольку ее свойствами интересовался Николай Кузанский. Контекст был настолько далеким, что всякая связь между абстрактным схоластическим описанием у Кузанского и механической задачей, интересовавшей Галилея, показалась бы неправдоподобной.

Тайна циклоиды

Представим себе колесо, катящееся по дороге. Как целое, оно движется по прямой, но каждая отдельная точка колеса при этом вращается по окружности вокруг центра. Если выбрать произвольную точку на ободе, например пометив ее краской, то траектория этой точки не будет ни прямой, ни окружностью. Получающаяся кривая называется циклоидой.

К сожалению, Галилей так и не смог понять, насколько важна была бы для него эта линия. Дело в том, что теорема об изохронизме колебаний маятника — одно из самых ранних и самых важных его открытий — верна лишь приблизительно. Для того чтобы шарик по стенке чашки скатывался каждый раз за то же время, поверхность чашки должна быть не сферической — она должна давать в поперечном сечении циклоиду. Об этом стало известно уже очень скоро после его смерти: не прошло и десяти лет, как датский ученый Христиан Гюйгенс, озадаченный изобретением точных механических часов, понял, что маятник в них должен быть с хитростью. Грузик на ниточке должен качаться не по дуге окружности, а по дуге кривой, которую он обозвал изохроной. Однако очень скоро выяснилось, что изохрона, как и брахистохрона — всего лишь другие названия для циклоиды.

Математиков конца XVII века изрядно озадачило всё более расширяющееся многообразие открывшегося перед ними мира кривых. И то, что иногда разные задачи приводили к одному и тому же решению, казалось совершенно естественным. Немалое время потребовалось и для того, чтобы отличить цепную линию от параболы и от циклоиды, и для того, чтобы отождествить циклоиду с брахистохроной. Но еще большее время понадобилось, чтобы найденные формы обрели свое место в искусстве архитектора.

Море форм

Несмотря на то что на потенциальную ценность цепной линии для архитектуры указал в том же XVII веке великий английский экспериментатор Роберт Гук, только Антонио Гауди смог по достоинству оценить ее прелести. Вряд ли Гауди знал о мучительных поисках в решении математических и механических проблем за двести лет до его рождения. Скорее всего, он нашел свой метод эмпирически, благодаря чуткой и чуждой очевидности интуиции художника.

Конечно, в современной архитектуре находится место и для циклоиды, но никаких разумных причин такого странного решения не просматривается. ХХ век принес с собой практически безграничные вычислительные возможности новой техники, и архитекторы с радостью ими воспользовались, давая волю своей фантазии и не сильно задумываясь об уравнениях, описывающих те кривые или поверхности, которые они получают в готовом виде на экране компьютера.

И всё же рассказ был бы неполон без одной любопытной детали. В статьях по истории архитектуры цепная линия и парабола довольно часто смешиваются: параболические формы искусствоведы находят не только в творениях Гауди, но даже в провисших проводах линий электропередач. При всем том, что с математической точки зрения это совершенно неправомерно, формы эти весьма близки друг другу и могут при определенных условиях одна в другую переходить.

Возьмем цепочку и подвесим ее на двух гвоздях, находящихся на одной и то же высоте. Цепочка под действием силы тяжести примет форму цепной линии — это нам уже известно. Но теперь прицепим к самой нижней точке цепочки достаточно тяжелый груз, цепочка тут же вытянется и примет форму треугольника. А что будет, если вместо груза у нас будет длинная горизонтальная балка, которую надо подвесить на цепочке не в одной точке, а так, чтобы нагрузка была равномерно распределена не только в цепочке, но и в балке? Вот тогда-то и получится парабола. А описанное — не что иное, как висячий мост.

_{Материал опубликован в марте 2010 в проекте «Телеграф Вокруг света», частично обновлен в октябре 2023}