Бесконечное число имен бесконечности

В издательстве Гарвардского университета (Harvard University ) только что появилась новая книга двух профессоров — американца Лорена Грэхэма (Loren Graham) и француза Жана Мишеля Кантора (Jean-Michel Kantor), — с интригующим заголовком «Имя для бесконечности, или подлинная история математических идей религиозных мистиков» («Naming Infinity: A True Story of Religious Mysticism and Mathematical Creativity»). Авторы её ещё несколько лет назад пришли к убеждению, что создание математиками из Москвы нового направления в теории множеств в начале ХХ века совершенно не случайно. Оно находится в тесной взаимосвязи со своеобразными философскими идеями московских же мистиков, считавших, что верующий почитает не самого бога, а имя бога. Отталкиваясь от философии имени, им удалось прийти к исчислению бесконечностей, на несколько десятилетий обогнав признанных мастеров жанра — французских математиков.

С идеями профессоров Грэхэма и Кантора согласны не все — и среди российских математиков у них есть свои оппоненты. Однако есть повод заново обдумать, как связаны имена и числа перед лицом бесконечности.

Что за цифра там на пряжке?

Детский стишок Маршака начинается на удивление точно:

Кто стучится в дверь ко мне
С толстой сумкой на ремне,
С цифрой 5 на медной пряжке,
В синей форменной фуражке…

В некоторых, совершенно ошибочных редакциях тот же текст передается иначе: «С цифрой „пять“ на медной пряжке…». Ошибка тут в том, что «пять» — это не цифра, а слово, а вот «5», как у Маршака, именно цифра. И V — тоже цифра, хотя и другая. Нас не должно удивлять, что одно и то же число может быть записано и словами, и цифрами.

А ещё бывает школьный розыгрыш: 10 — это сколько? Суть розыгрыша в том, что при позиционной записи чисел при помощи цифр значение каждой из них определяется не только самими цифрами, но и их положением. И если с первой справа позицией все ясно — это всегда единицы, то следующий разряд может быть каким угодно. Например, в двоичной системе счисления — это двойка, и в таком случае мы имеем просто своеобразно записанное число два. Впрочем, это своеобразие довольно относительно: в любом компьютере двойка записывается именно так. Хотя иногда «10» может означать и восьмерку, если подразумевается восьмеричная система счисления, или даже число шестнадцать, если система счисления шестнадцатеричная — они обе тоже довольно часто применяются в современной информатике.

В отличие от цифр, которых совсем немного, число чисел неисчислимо (прошу прощения за каламбур), поскольку для любого числа есть ещё большее — достаточно добавить единицу. Это правило, интуитивно очевидное, было даже включено в определение натурального ряда и получило название аксиомы Пеано в честь сформулировавшего его итальянского математика Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano, 1858–1932). Так же интуитивно тут можно почувствовать некий философский подвох, но все же закрыть глаза на бесконечность ряда натуральных чисел, полагая, что в практической жизни можно ограничиться его конечным куском, положив в качестве «максимального» гугол или стасплекс .

Философские проблемы дают себя знать, когда внутри одной бесконечности вдруг обнаруживается другая. Например, выбирая среди всех чисел только четные, мы снова получим бесконечную последовательность 2, 4, 6, … Для того, чтобы не путаться с бесконечностями, математики стали говорить о множествах и мощностях: множество натуральных чисел, хотя и бесконечно, равно по мощности множеству четных. Это следует из существования простого правила, устанавливающего связь между этими двумя множествами: достаточно разделить на 2 любое четное число или умножить на 2 любое натуральное, чтобы убедиться во взаимной однозначности этого правила.

Похожее правило — только немного более сложное — взаимнооднозначно связывает натуральные числа и со всеми простыми дробями. Иначе говоря, простые дроби тоже можно перенумеровать. А значит, и множество рациональных чисел имеет ту же мощность, что и множество рациональных, то есть и эти две бесконечности «равны» друг другу. Так, может быть, бесконечность едина и все бесконечные множества в этом смысле всегда «равны» друг другу? Но нет: во-первых, иррациональные числа перенумеровать невозможно — и это множество оказывается «больше», чем множество натуральных чисел, — а во-вторых, для любого множества можно построить «большее».

Немецкий математик-изгой

Оба эти утверждения доказал немецкий математик Георг Кантор (Georg Cantor, 1845–1918). Раз бесконечности разные, то для них тоже можно ввести свои имена — так сказать, трансфинитные числа. Мощность натурального ряда Кантор обозначил буквой алеф из древнееврейского алфавита с индексом ноль: אo, а для мощности континуума — это непрерывный отрезок прямой или вся прямая — он использовал ту же букву, но с индексом единица: אl, тем самым предполагая, что никакого другого трансфинитного числа между אo и אl быть не может.

О том, что континуум можно считать множеством точек, стало известно незадолго до Кантора, но он смог доказать это еще раз, сумев «перенумеровать» все точки прямой — точнее, единичного отрезка. Только в роли «номеров» в этом случае выступают не натуральные числа, а бесконечные последовательности цифр. Достаточно даже просто нулей и единиц (если считать, что каждый «номер» записан в двоичной системе): множество дробей вида 0,100010100111… полностью воплощает в себе множество всех рациональных чисел вместе с иррациональными от 0 до 1. Однако из теории Кантора следовало и нечто большее: его «алефы» позволяли нумеровать точки, для которых прямая слишком коротка (отсюда и название трансфинитные — то есть находящиеся «за бесконечностью»).

Идеи Кантора стоили ему больших несчастий. Многие из его коллег нашли в теории «алефов» не просто множество математических парадоксов и несуразностей — это было бы полбеды. В рассуждениях Кантора просматривалась его глубокая религиозность и желание постичь «Абсолют». По мере того, как он развивал свою теорию, у него все больше разлаживались отношения с начальством по университету в городе Галле , и от нее отказывались даже те математики, которые поначалу отнеслись к ней восторженно. Центром математической мысли в конце XIX века была Франция , но двое ведущих французских математиков Шарль Эрмит (Charles Hermite, 1822–1901) и Поль Эмиль Аппель (Paul Émile Appell, 1855–1930) высказывались даже против того, чтобы переводить сочинения Кантора на французский язык . Можно было ожидать, что новые идеи поддержит патриарх французской математики, человек, во многом предвосхитивший её будущее развитие в ХХ веке, — Анри Пуанкаре (Henri Poincaré, 1854–1912)… Но нет — и он тоже отказывался разговаривать «об актуальной бесконечности».

К концу века на самого Кантора все чаще нападают приступы депрессии . Постепенно становится очевидно, что речь идет о серьезном заболевании — маниакально-депрессивном психозе. Эмиль Борель (Émile Borel, 1871–1956), один из молодых поклонников теории множеств, постепенно стал чувствовать отторжение к ней, которое только усиливалось от слухов о болезнях других математиков. Спустя много лет после этого он написал своему другу Полю Валери (Paul Valéry, 1871–1945), что ему пришлось отказаться от занятий теорией множеств «из-за переутомления, которое на него навалилось и заставило опасаться серьезных заболеваний, в том случае, если бы он продолжил свою работу».

Вопрос закрыл ещё один авторитетный математик — Жак Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963), заключивший, что весь сюжет вышел за «пределы математики» и стал относиться «к психологии, к свойствам нашего разума». Это решение многим показалось остроумным, но, по мнению Лорена Грэхэма и Жан-Мишеля Кантора, оно повлекло за собой уход французской математики с передовой. Увидев серьезное математическое содержание в сравнении размеров бесконечных множеств и упорядочении их бесконечных же подмножеств, математики России смогли построить школу, долгое время остававшуюся первой и даже к настоящему времени не до конца утратившую свое значения.

Число Бога

Первые одиннадцать лет своей жизни создатель теории множеств провел в Санкт-Петербурге . Однако климат этого города оказался слишком вредным для его отца, и в 1856 году вся семья перебралась в значительно более благоприятный климат Франкфурта-на-Майне . Изучение естественных и технических наук осуществлялось юным Кантором в самых разных городах Европы — от Дармштадта до Цюриха — и сопровождалась вполне ожидаемой борьбой с родителями, с большей радостью видевших в своем ребенке инженера, а не математика с явными философскими склонностями. Однако постепенно Георг преодолел их сопротивление и, как уже говорилось, очутился в университете Галле.

Свои философские взгляды он определял формулой «умеренный аристотелевский реализм», однако в них явственно угадывается платонизм пифагорейского толка. Актуальная бесконечность, выраженная трансфинитными числами, занимает у него промежуточное положение между конечным и бесконечным абсолютно — то есть божественным. Понимая, что такая постановка вопроса может быть с большей вероятностью близка философам, а не математикам, главное свое сочинение «Математически-философский опыт в учении о бесконечном», он и адресовал скорее философам, чем математикам:

[Я подразумевал] двоякого рода читателей — с одной стороны, философов, которые следили за развитием математики вплоть до новейшего времени, а с другой — математиков, которые знакомы с важнейшими фактами древней и новой философии .

И такого рода читателей он нашел — у себя на родине. Неудивительно, что ими оказались, в первую очередь, также платоники пифагорейского толка и христианские мистики. Самый, пожалуй, известный из них у нас сейчас — Павел Александрович Флоренский (1882–1937) — понимал, в каком смысле мы можем говорить о числе, которое больше любого натурального числа:

В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально-бесконечно, потому что оно, будучи определенным (ибо в Боге нет изменения), в то же время больше всякого конечного могущества .

Метафора эта вовсе и не была метафорой в глазах самого Флоренского, для которого особой границы между теологией и математикой даже не подразумевалось. А кроме того, то религиозно-философское направление, которое Флоренский развивал в начале ХХ века, постулировало, что «имя Божие и есть сам Бог». Но имя это само по себе представляло бесконечное множество имен, включающее и числа.

Прощай, Лузитания!

В 1900 году Флоренский поступил на физико-математический факультет МГУ, но четыре года спустя оставил занятия математикой ради церковной и богословской карьеры. Однако уже в советское время он прекратил занятия также философией и теологией, полностью погрузившись в исключительно практические инженерные вопросы. Он много занимался электротехникой, принимал участие в разработке плана ГОЭЛРО, изучал свойства вечной мерзлоты. Все это не уберегло его от репрессий новой власти, и после нескольких арестов в 1937 году он был расстрелян.

Уход из математики не означал для Флоренского ухода из математического сообщества. Среди наиболее близких ему людей оставались Николай Николаевич Лузин (1883–1950) и Дмитрий Федорович Егоров (1869–1931). Недостаточно сказать, что оба они крупные математики: в 1923 году Егорова выбрали президентом Московского математического общества и назначили директором Института математики и механики I МГУ, именно в нем современные историки видят ключевую фигуру в создании и развитии теории функций. Среди выдающихся успехов Лузина не только собственно математические результаты, но и уникальная педагогическая энергия: его учениками или учениками его учеников побывали практически все крупные российские математики. Кружок его учеников, сложившийся уже в 20-е годы, получил название «Лузитании». Именно им уже в 30-е годы предстояло сделать открытия, открывшие дорогу к таким популярным сегодня темам, как фракталы и хаос.

Очень часто судьбу науки в меньшей степени определяет успех в решении задач, а в большей — правильный их выбор. Кто знает, какие доводы приводит сам себе математик, убеждая себя взяться за решение одной из них, и не браться за решение других. В случае Егорова и Лузина, по мнению Лорена Грэхэма и Жан-Мишеля Кантора, принципиальную важность имели их религиозные взгляды и способность увидеть за игрой в наименования далекие математические перспективы. Философские идеи Кантора, так сильно затруднившие принятие его математики в странах Западной Европы и, прежде всего, в рационалистической Франции, сыграли прямо противоположную роль в России, где существовала противоположная — мистическая — философская традиция.

Конечно, это утверждение довольно трудно доказать, и к нему следует относиться как к красивой и по своему продуктивной, но все же гипотезе. Его уже подвергли критике — вероятно, вполне справедливой — и наши математики, и наши философы. Но даже как гипотеза картина, предложенная западными исследователями, весьма привлекательна: за «серебрянным веком» российской поэзии и вообще искусств наступает «ренессанс» философии, ему на смену приходит «золотой век» математики. Потом, конечно, все проходит, вся красота если и не гибнет, то, по меньшей мере, калечится: в 31-м расстреливают Егорова, вскоре после этого открывается дело против Лузина, лишь чудом он избегает застенка, но каток репрессий не щадит его учеников… И все же воспоминание о красоте в прошлом остается, и созерцание её рождает уверенность — она была не случайной.