Мир вокруг нас полон математических объектов — чисел, функций, геометрических фигур. Вся современная цивилизация есть продукт развития технологий, немыслимых без точных математических расчетов. Но математика не просто помогает нам совладать с миром. Она проникает в самую суть этого мира. Это удивительное обстоятельство впервые было отмечено Пифагором, одним из наиболее влиятельных мыслителей в истории человечества. Своим девизом «Все есть число» он на тысячи лет предвосхитил как будущую роль математики, так и представления о природе ее объектов. Способом своего существования они кардинально отличаются от предметов, знакомых нам посредством органов чувств. Как многие считают, эта особенность делает математику главным источником веры в существование мира, «населенного» вневременными и сверхчувственными объектами.
Геометрия, один из древнейших разделов математики, имеет дело с точными фигурами. Но с каким бы тщанием мы ни пытались начертить окружность, она все еще будет несовершенной и неправильной. Настоящая окружность, о которой доказываются теоремы, существует не в этом мире. Знаменитый английский философ и математик, лауреат Нобелевской премии отмечал в своей «Истории западной философии»: «Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку со стороны чистой математики, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли Бога».
Другой нобелевский лауреат, физик , запустил в обращение ставший знаменитым тезис о «непостижимой эффективности математики в естественных науках». И действительно, основные законы природы выражены «простыми» формулами, которые «схватывают» сложнейший порядок Вселенной. Как видно, математика принадлежит обоим мирам, которые смыкаются в ней самым таинственным образом.
Пифагор Самосский (около 570—500 гг. до н. э.) — одна из самых загадочных фигур в истории философии. Сочинений Пифагора не сохранилось, а историю его жизни трудно отличить от легенд, тем более что пифагорейцы обычно приписывали все свои достижения главе школы. Фото: ULLSTEIN/VOSTOCK PHOTO
Чистые идеи
Уже Галилей заявил, что «математика есть язык природы». И если между экспериментами и формулами возникают расхождения, то, как говорится, «тем хуже для эксперимента». Хотя в этом высказывании есть известная доля иронии и шутки, оно глубже, чем может показаться. Вспомните, что знаменитый «школьный» закон свободного падения тел Галилей вывел, катая каменные шары по жестяному желобу. Вряд ли грубость и несовершенство этого эксперимента позволяли ему дать столь простое описание падения тел. Но Галилей верил в математику и в итоге оказался прав.
Роль математики в познании мира возрастала по мере того, как наглядность уступала место все большей абстрактности. Например, квантовая механика, лежащая в основе самых значимых современных технологических достижений — атомных реакторов, лазеров и транзисторов, описывает элементарные объекты, скорее как математические абстракции, чем что-то материальное.
Но если объекты математики, эти идеальные окружности и треугольники, вообще существуют, то возникают вопросы: где и как именно? С точки зрения Платона , они являются внечувственными и вневременными и образуют мир идеальных сущностей. Именно этими размышлениями о природе математических объектов была инспирирована знаменитая теория идей Платона, согласно которой объекты чувственного мира являются несовершенными копиями мира идеальных вещей. В 30-х годах прошлого века видный швейцарский математик и логик Пауль Бернайс запустил в обращение термин математический платонизм, который прижился в философии математики и означает представление, согласно которому математические объекты существуют вне человеческого сознания и независимо от него.
Работающий математик, как правило, в душе является платонистом. Это означает, что он верит в объективное существование математической реальности, исследованием которой занимается. Для него математические сущности столь же реальны, как для зоолога — кенгуру. Он должен быть убежден в том, что открываемые им объекты и их свойства существуют независимо от его ума, и сама математика не является просто «выдумкой». Однако помимо платонизма есть и другие представления. Их отличия можно продемонстрировать на примере такого типичного математического объекта, как число π.
Где живет число пи?
Исторически оно появилось как отношение длины окружности к ее диаметру, но довольно скоро, с развитием математики, стало ясно, что число это куда более «вездесуще» и появляется в самых разных математических рассуждениях. Первоначально значение π определялось чисто эмпирически и, как всякое опытное знание, имело приближенный характер. В Древнем Вавилоне его полагали равным 25/8 (31/8). Великий древнегреческий математик Архимед, в распоряжении которого при вычислениях были только простые дроби, из геометрических рассуждений выяснил, что π лежит между 310/71 и 31/7. Со временем точность возрастала, и теперь известно, что численное значение π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
π = 3,141592653589793238346…
Цифры этого бесконечного разложения получают по определенным алгоритмам, которые задают процесс конструирования числа, шаг за шагом все ближе подходя к «истинному» значению π. При этом одни подходы дают удовлетворительные приближения быстрее других, и в этом состоит цель поиска новых алгоритмов. Конечно, ни один метод не даст нам все знаки числа π, поскольку не в наших силах отобразить на бумаге или в памяти компьютера их бесконечную последовательность. Поэтому на практике мы располагаем лишь конечными (пусть и весьма длинными) фрагментами записи числа π и алгоритмами для вычисления еще неизвестных его знаков. Но алгоритмы есть продукт человеческой изобретательности и сильно различаются между собой. Кто знает, не дадут ли они разные результаты при вычислении, скажем, стотриллионного или еще более далекого знака числа π? А раз так, то нет оснований говорить о том, что число π существует само по себе вне и независимо от человеческого разума.
Различные вариации этой точки зрения известны в философии математики под названиями конструктивизм и интуиционизм. Первый термин отражает установку, согласно которой признается существование лишь тех математических объектов, которые хотя бы теоретически можно сконструировать за конечное время. Второй апеллирует к понятию математической интуиции, которой, как предполагается, доступны лишь конечные объекты, а потому бесконечные сущности вроде полной последовательности знаков числа π, даже если и существуют в каком-то смысле, не могут быть предметом доказательных рассуждений в математике.
История уточнения числа пи
25/8 = 3,125 — Вавилония, начало XIX в. до н. э.
256/81 ≈ 3,160 — Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)
339/108 ≈ 3,139 — Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)
223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) — Архимед, Греция, 250 г. до н. э.
3,1416 — Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.
3,1415926 < π < 3,1415927 — Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.
3,14159265359 — Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.
16 знаков — Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.
35 знаков — Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)
100 знаков — Джон Мэчин, Англия, 1706 г.
200 знаков — Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)
527 знаков — Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)
2037 знаков — Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)
16 167 знаков — Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)
1 001 250 знаков — Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)
1 011 196 691 знаков — братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)
206 158 430 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.
1 241 100 000 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)
Три взгляда на одно число
Теперь мы можем представить три основные точки зрения на то, в каком смысле существует математический объект π. Во-первых, это эмпирически определенное отношение длины окружности круглого предмета к его диаметру, причем геометрические термины здесь служат лишь для указания на приближенные свойства физических предметов. Хотя эта точка зрения кажется самой естественной, ее трудно защитить. Фундаментальное затруднение состоит в том, что универсальные математические истины невозможно обосновывать частными эмпирическими обстоятельствами.
Во-вторых, число π можно рассматривать как объект, существующий независимо от человеческого сознания и принадлежащий миру математических сущностей. Эта платонистская точка зрения ведет к тому, что все истины о π, включая еще не доказанные теоремы, в которых оно используется, уже существуют и имеют объективный характер, независимо от того, знаем мы это или нет. И хотя цифры разложения числа π открываются нами лишь в ходе применения вычислительных алгоритмов, в мире математических объектов π существует объективно, и там наличествуют сразу все знаки его бесконечного (!) десятичного разложения.
Однако для интуиционистов такой взгляд неприемлем. Человек не может представить бесконечность, а математические объекты, с точки зрения интуиционистов, существуют лишь тогда, когда их можно сконструировать. Допустим, нам предъявлен алгоритм и сказано, что он строит последовательность знаков числа π. Платонист может ставить перед собой задачу доказать это утверждение. Поскольку все знаки π уже существуют «на самом деле», то пусть даже за некоторыми пределами мы их и не знаем, но можем попробовать доказать, что данный алгоритм дает нам именно их, а не что-то другое. Но вот с точки зрения интуициониста, это утверждение не истинно и не ложно: оно неразрешимо, так как математический объект существует только в том случае, если дан способ его конструирования. Нет способа сконструировать весь ряд цифр числа π, стало быть и такого математического объекта пока просто не существует. А раз так, то утверждение, что данный конкретный алгоритм строит неизвестные еще знаки числа π, тоже лишено смысла.
Но быть может, мы делаем ошибку, придавая столь большое значение вопросу о том, в каком смысле существуют математические объекты как нечто индивидуальное? В конце концов, число 3 есть то, что стоит после числа 2 и перед числом 4. Другими словами, важна структура натуральных чисел, свойства всего ряда в целом. Такая точка зрения называется структурализмом. С его позиций центр тяжести при обсуждении природы математики переносится с индивидуальных объектов на всю структуру. Эта концепция стала доминирующей в ходе развития аксиоматического метода, потому что аксиомы описывают именно структуру. Но для наших «вечных» вопросов это не имеет особого значения, потому что те же самые вопросы о существовании можно повторить и в отношении любой математической структуры, такой, скажем, как множество действительных чисел.
Итак, эмпиризм, платонизм и интуиционизм — три основные точки зрения на то, в каком смысле существуют математические объекты. Это, так сказать, онтология математики, представления о способах существования ее объектов. Но не менее важен и вопрос о том, каким образом мы обретаем знание свойств математических объектов. И тут от онтологии мы переходим к эпистемологии, то есть теории познания.
При виде красоты и непредсказуемой сложности фракталов трудно усомниться в том, что они существуют объективно, несмотря на то, что человеческой интуиции их не охватить. Фото: SPL/EAST NEWS
Эмпиризм
Эмпиризм как точка зрения на существование математических объектов, помимо тривиального тезиса об опытном происхождении всего знания, особо ярко проявляется в двух аспектах. Прежде всего эмпирические истины ассоциируются с интуитивно понятными математическими утверждениями, такими как «2 + 2 = 4». Именно такие утверждения Давид Гильберт назвал реальными в том смысле, что в них невозможно усомниться в силу их непосредственной связи с нашим опытным восприятием внешнего мира. Между тем высшая математика полна очень далеких от опыта и интуиции утверждений и концепций, которые в терминологии Гильберта являются идеальными в том смысле, что служат целям построения непротиворечивой сложной символической системы, в целом называемой математикой, и связывают между собой отдельные ее понятные фрагменты. Но еще важнее вопрос о том, как эмпирически обосновывать математическое знание. Легко сложить два камешка с другими двумя и получить четыре. Но что если попытаться подтвердить подобным образом математическую истину «2000 + 2000 = 4000». В силу несовершенства наших способностей мы вполне можем получить не 4000, а, скажем, 3999 или 4001, или 3997. Как истинные эмпиристы, мы в качестве ответа берем среднее и получаем дробь. Однако ведь при сложении целых чисел не может получиться дробь! Но откуда этот факт известен эмпиристу? Только из той самой арифметики, которую он пытается обосновать опытными средствами. Получается порочный круг, когда доказываемое уже предполагается в посылках.
Логика или интуиция?
Как уже было сказано, платонизм является «тайной» философией работающего математика, который должен быть уверен в реальности открываемых им сущностей. Действительно, удивительная красота и загадочность математических структур убеждают нас в том, что за пределами наших чувств существует реальность, доступная лишь интеллекту. Знаменитый математик и физик , убежденный платонист, говорит, что трудно избежать веры в эту реальность, рассматривая диаграммы множеств Мандельброта.
Но если существует внечувственная реальность, то каким же образом мы, обладающие скромными пятью чувствами, можем знать об этом мире? Это действительно трудный вопрос для платониста. На него давались различные ответы. Бернард Шоу как-то сказал, что мысль автора становится яснее, когда она доводится до крайности. Таким взглядом представляется точка зрения одного из величайших логиков в истории мысли . Он считал, что интуиция математика, постигающего идеальные структуры и объекты, аналогична чувственным восприятиям человека, познающего предметы материального мира. В этом смысле математическая интуиция выступает в качестве мистического инструмента познания. С другой стороны, трудно отрицать, что именно интуиция играет огромную роль в познании, и наша рациональная мысль, если прибегнуть к каламбуру, немыслима без интуиции.
Однако мистические прозрения могут дать нам истину, а могут и вводить в заблуждение. , знаменитый американский философ и психолог, приводит пример, как человек под действием веселящего газа — закиси азота — впадал в транс, в котором ему казалось, что он знает тайну мира, но, приходя в сознание, он забывал ее. Однажды ценой огромных усилий он в состоянии транса записал на бумаге эту тайну. Каково же было его удивление, когда по выходу из транса он увидел запись: «Повсюду пахнет нефтью».
Где же гарантия, что интуиция не обманывает нас в отношении тех самых математических объектов, восприятие которых она, согласно Гёделю, обеспечивает? Что служит критерием верности математического знания? Универсальный ответ дается одним словом: доказательство. Так называют дедуктивную цепочку рассуждений, убеждающую в правильности сделанного утверждения. Но постижению доказательства, как познавательному процессу, присуща определенная двойственность. С одной стороны, человек смотрит на доказательство, и — раз! — происходит чудо, часто называемое «ага, понял!». Этот момент «схватывания» идеи, уяснения сути аргумента напрямую связан с интуитивным постижением чужой мысли, заключенной в символы или утверждения. С другой стороны, чтобы достичь этого «момента истины», нужна тренировка в области математического мышления. Необходимо освоить элементарную логику рассуждения и, как говорят философы, признавать нормы рационального мышления, которые и позволяют людям понимать друг друга. Какая бы интуиция и озарение ни сопутствовали открытию математиком новой истины или нового объекта, для того чтобы передать свое знание или убедить в его правильности, необходимы общий язык и общие нормы, которые реализуются в доказательствах.
Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) выдвинул масштабную программу обоснования математики путем ее полной формализации на основе теории множеств (на фото слева). Голландец Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881—1966) выступал с критикой этого подхода ввиду присущих наивной канторовской теории множеств антиномий, а главное — контринтуитивности рассуждений, включающих бесконечные множества. Фото: SPL/EAST NEWS
Математическая «схизма»
Хотя в разных областях человеческой деятельности нормы рационального мышления могут варьироваться, во всем этом разнообразии существует «сердцевина», олицетворяемая логикой. Аргументация убеждает, только если в ней соблюдены правила логики. Если же человек от них отступает, он оказывается вне профессионального сообщества. Безусловно, сами эти нормы изменяются по ходу времени, и это напрямую относится к представлениям о математическом доказательстве. На протяжении всей истории математики менялись требования к строгости доказательств. Интуитивно понятные доказательства теорем в XVII—XVIII веках постепенно сменились строгими формальными выкладками. При этом внутри профессионального сообщества стали нарастать разногласия относительно природы и надежности доказательств. В итоге к началу XX века в математическом сообществе возникла «схизма», противоположные лагеря которой возглавили немецкий ученый, «король математики» и голландский математик .
Спор шел о допустимости использования в доказательствах бесконечности. Брауэр и его сторонники, полагая интуицию базисом всего математического знания и исходя из невозможности интуитивного представления бесконечности, отвергли те части математики, в которых признается существование бесконечных объектов как чего-то данного, завершенного, то есть так называемой актуальной бесконечности. Ключевым моментом полемики стал вопрос, допустимо ли использовать в математических рассуждениях один из основных принципов логики — закон исключенного третьего (который гласит, что из двух отрицающих друг друга высказываний одно непременно должно быть истинным). Этот закон широко используется в классической математике, но ограничивается в интуиционистской, когда речь заходит о бесконечных объектах. Таким образом, даже логика самого строгого вида аргументации — математического доказательства — может подвергаться сомнению.
Подсказки богини Наматжири
Иногда такие сомнения находят свое интереснейшее выражение. История индийского математика (1887—1920) показывает, что природа человеческого гения чрезвычайно разнообразна, даже там, где присутствуют жесткие нормы мышления. Стараниями известного английского математика Годфри Харди способный молодой человек из Индии попал в Англию, где проявил себя в качестве одной из самых примечательных фигур в теории чисел. Его результаты были неожиданными и красивыми, но по характеру творчества он радикально отличался от других математиков. Он не знал, что такое доказательство. Его результаты были итогом чисто интуитивного прозрения и часто приходили во сне: ему диктовала их богиня Наматжири. Поразительно было как то, что большинство его формул оказывались верными, так и то, что иногда богиня ошибалась. При этом формулы были воистину красивыми и загадочными.
Мы уже упоминали о том, что натуральные числа есть просто «места» в структуре — натуральном ряду. Но это более или менее современная точка зрения. Ранее, например в Античности, процветала нумерология, в которой отдельным числам приписывались магические свойства. Эти представления широко используются и в нынешних оккультных сочинениях и обрядах. Видимо, были такие времена в истории ранних цивилизаций, когда числа воспринимались как индивидуальные объекты точно так же, как мы распознаем отдельных людей. Что-то в этом спорном положении подтверждается историей с Рамануджаном. Он «знал» числа напрямую, как своих знакомых. Много раз описан разговор Харди с лежащим в больнице Рамануджаном. «Я ехал в такси с ничем не примечательным номером — 1729», — начинает посетитель «пустой» разговор с больным. «Нет, Харди, ты неправ, — отвечает Рамануджан. — Это очень интересное число. Это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами». Создается впечатление, что Рамануджан знает числа непосредственно, «лично». В этом отношении существуют восхитительные спекуляции по поводу «феномена» Рамануджана. В одной из популярных книжек было высказано предположение, что математика сейчас есть функция левосторонней части мозга, которая определяет аналитические способности человека. Но вполне возможно, что в период, когда доминирующей была правосторонняя часть мозга, ответственная за чувственные восприятия, человек познавал «непосредственно». И тогда можно предположить, что Рамануджан являлся «осколком» той древней цивилизации, которая развивала математику совсем по другому пути. Но эта романтическая догадка так и остается догадкой.
Сриниваса Айенгор Рамануджан (1887—1920), не имея специального математического образования, получил множество неожиданных и красивых формул, о которых говорили, что ни у кого другого не «хватило бы воображения, чтобы их изобрести». Фото: SPL/EAST NEWS
Большое доказательство
Итак, дедуктивное доказательство есть единственно убедительное свидетельство существования математических объектов и истинности математических утверждений. И коль скоро речь идет об убедительности — ведь доказательство представляет собой аргумент, — есть все основания полагать его «рукотворным». Дело в том, что убедительная аргументация должна быть обозримой. Американский математик Хао Ван заметил как-то, что если доказательство изложено на паре сотен страниц и каждая страница убедительна в отдельности, то в любом случае трудно представить, что в голове эти две сотни страниц могут уложиться в их взаимосвязи. Ясно, что при этом математики ищут выход в том, что укрупняют фрагменты доказательства, делая весь ход мысли более понятным. Но что можно сказать о доказательстве теоремы, которое изложено на 15 000 страниц? Можно ли прочесть такое доказательство? Можно ли считать его убедительным аргументом? Но такой аргумент существует — это доказательство теоремы о том, что обнаружены все простые конечные группы (подробнее об этой теореме и связанном с ней кризисе рассказывается в статьях Д. Горенстейна и Б. Дэвиса). Естественно, такой труд не под силу одному человеку, и в доказательстве принимали участие более 100 математиков. Полное доказательство разбросано по страницам 500 журналов, выходивших на протяжении 40 лет.
Можно ли считать такое доказательство обозримым? Способен ли хоть кто-то охватить его в целом умственным взором? В результате постижения доказательства математик получает уверенность в утверждении теоремы. Насколько сильна эта уверенность в случае огромных многотомных доказательств? Эти сомнения усугубляются еще и чисто прагматическим обстоятельством. Представим себе, что некий математик объявил о доказательстве труднейшей теоремы, но проверка этого результата требует многолетних усилий целого коллектива. Готов ли кто-нибудь надолго забросить свои исследования для того, чтобы проверять правильность чужих?
И все же то, что доказано одним человеком или сотней людей, в принципе можно и проверить усилиями одного человека или сотни людей. Но ситуация с обозримостью и понятностью резко осложняется с появлением в математической практике компьютерных доказательств. История эта началась с теоремы о четырех красках. Она формулируется чрезвычайно просто: для раскраски любой карты на сфере или плоскости так, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены одинаково, достаточно четырех цветов. Начиная с середины XIX века было сделано множество попыток справиться с этой теоремой, но удалось это только в 1976 году американским математикам Апелю и Хакену. Одна беда: решающая лемма в доказательстве обосновывалась с помощью компьютерных вычислений, для которых потребовалось 1200 часов машинного времени, по большей части для проверки различных конфигураций.
Вероятно, доказано...
Сама идея компьютерного доказательства вызвала большие споры в математическом сообществе и не меньшие споры в философском. Дело в том, что компьютер представляет собой физическую машину, которая может дать сбой. А проверить «вручную» то, что делает программа, человеку не под силу. Таким образом, как признают сами авторы компьютерного доказательства, теорема обоснована с вероятностью 0,999… Но априорное знание, каким его полагал Платон, не может быть вероятностным. Да и многие математики, не обращающие внимания на философию, также не приемлют идею вероятности доказательства. Теорема либо доказана, либо нет! Доказательство есть результат озарения, а не механического действия машины. Компьютерное обоснование по большей части невозможно проверить «с карандашом и бумагой». Если даже распечатать все программы и все используемые данные, которые займут очень много страниц труднопостижимого текста, не будет никакой гарантии, что данные эти были напечатаны правильно или же правильно прочитаны. К тому же любой компьютер имеет скрытые дефекты — как в программах, так и в «железе», — которые иногда приводят к серьезным ошибкам. И у любого компьютера возможны спонтанные сбои, которые хотя и редки, но тем не менее случались в ходе компьютерных доказательств.
Теорема о четырех красках уже не единственная, доказанная с помощью компьютера. Так что мы приходим к ситуации, когда все теоремы можно будет разделить на четыре категории: доказываемые устно, требующие карандаша и бумаги, требующие вдобавок больших усилий и времени и, наконец, те, которые можно доказать только с помощью компьютера.
Если доказательство является решающим свидетельством в пользу существования математических объектов и фактов, то в свете приведенной классификации теорем трудно отдать предпочтение какой-либо одной традиционной точке зрения на природу математических сущностей: эмпиризму, платонизму или интуиционизму, о которых говорилось в начале статьи.
Ситуация меняется с появлением в математической практике компьютеров, а также чрезвычайно трудоемких «человеческих» доказательств, представляющих собой результат коллективного творчества. Мир математики поражает огромным разнообразием своих объектов и удивительными связями между различными областями. Красота математических рассуждений и определенность достигаемых результатов есть результат творчества человеческого ума. Но, несмотря на весь прогресс науки, перед математиками по-прежнему стоит вечный вопрос: является ли их творчество свободным полетом человеческого гения или же проникновением в тайную структуру окружающего нас мира?
